欧几里德算法(Euclid)阐述了一种gcd算法。gcd(greatest common divisor)，简言之，我们想求gcd(x,y)，假设(x>y)，如果存在下式:x = q*y + r，那么则有gcd(x,y) = gcd(y,r) ，其实上式也称为
gcd递归定理，即gcd(a,b) = gcd (b,a mod b)。
这个递归式看似很简单。实则它还是很值得推敲的，首先，它怎么证明？其次，该算法的运行时间为如何？
在密码学中，欧几里德算法有着相当广泛的应用，譬如求乘法逆元，大整数分解等等。。
在<<编程之美>>一书中，给出了不少gcd算法的简单实现。因为gcd算法的实现是递归，所以要特别注意栈溢出。先做个标记，以后会把栈详细分析一下。
最简单的gcd算法：
1
int gcd(int x, int y)
2
{
3
if(y == 0) return x;
4 if(x < y) return gcd(y,x);
5 else return gcd(y, x%y);
6
} ACM中常用的gcd算法：
1int gcd(int a, int b){ return a == 0 ? b : gcd(b % a, a); } 经过优化的gcd算法(分成奇偶两种情况)：
1int gcd(int x,int y )
2{
3 if(x < y) return gcd(y,x); // x>y
4 if( y == 0) return x; // if y=0, x is GCD
5 else
6
{
7 if( !(x%2) )
8 {
9 if( !(y%2) ) //x,y both even
10 return 2*gcd(x >> 1, y >> 1);
11 else // x is even, y is odd
12 return gcd(x >> 1, y );
13
}
14 else
15 {
16 if( !(y%2) ) // x is odd, y is even
17 return gcd(x, y >> 1);
18 else // x, y both odd
19 return gcd(y,x-y);
20 }
21 }
22}
23