在基本的拓扑排序的基础上又增加了一个要求：编号最小的节点要尽量排在前面；在满足上一个条件的基础上，编号第二小的节点要尽量排在前面；在满足前两个条件的基础上，编号第三小的节点要尽量排在前面……依此类推。（注意，这和字典序是两回事，不可以混淆。）
如图 1 所示，满足要求的拓扑序应该是：6 4 1 3 9 2 5 7 8 0。
图 1 一个拓扑排序的例子
一般来说，在一个有向无环图中，用 BFS 进行拓扑排序是比较常见的做法，如算法 1 所示。但是它不一定能得到本题要求的拓扑序。
1. 把所有入度为 0 的节点放进队列 Q
2. WHILE： Q 不是空队列
3. 从 Q 中取出队列首元素 a，把 a 添加到答案的尾部。
4. FOR：所有从 a 出发的边 a → b
5. 把 b 的入度减 1。如果 b 的入度变为 0，则把 b 放进队列 Q。
算法 1 用 BFS 进行拓扑排序
为了解决本问题，下面让我来探究一下拓扑序的一些性质。以图 1 为例，节点 0 毫无疑问排在最后。除了节点 0 以外，有三条互相平行的路径：6 → 4 → 1、 3 → 9 → 2 和 5 → 7 → 8。一条路径上的各个节点的先后关系都是不能改变的，比如路径 6 → 4 → 1 上的三个节点在拓扑序中，一定是 6 在最前，1 在最后。但是，互相平行的各条路径，在总的拓扑序中任意交错都是合法的。比如，以下都是图 1 的合法拓扑序：
6 4 1 3 9 2 5 7 8 0、 3 6 9 4 5 1 7 8 2 0、 5 6 4 7 3 8 1 9 2 0、 3 5 6 4 1 7 9 2 8 0、 6 5 7 8 4 3 9 2 1 0。
怎么才能找出题目要求的拓扑序呢？在这里，我想用字典序最先的拓扑序来引出这个算法。算法 2 可以求出字典序最先的拓扑序。
1. 把所有入度为 0 的节点放进优先队列 PQ
2. WHILE： PQ 不是空队列
3. 从 PQ 中取出编号最小的元素 a，把 a 添加到答案的尾部。
4. FOR：所有从 a 出发的边 a → b
5. 把 b 的入度减 1。如果 b 的入度变为 0，则把 b 放进优先队列PQ。
算法 2 求出字典序最先的拓扑序
可见，算法 2 和算法 1 基本一样，只是把队列改成了优先队列。用它求出的图 1 的字典序最先的拓扑序为：3 5 6 4 1 7 8 9 2 0。但是这显然不是本题要求的答案，因为节点 1 的位置还不够靠前。
算法 2 可以算是一个贪心算法，每一步都找编号最小的节点。但是对于图 1 中的三条路径，头的编号比较小的，不一定要先出队列。正确的步骤应该如下：
- 节点 0 的位置是铁定在最后的，不用考虑。只考虑剩下的三条路径。
- 先找编号最小的，节点 1。把它和它所在的路径中位于它前面的节点全部拿出来。目前的答案是 6 4 1，这样， 节点 1 就尽量靠前了。
- 再找剩下的节点中编号最小的，节点 2。把它和它所在的路径中位于它前面的节点全部拿出来。目前的答案是 6 4 1 3 9 2 ，这样，节点 2 就尽量靠前了。
- 只剩下一条路径了，只能依次把其中的节点拿出来。最后答案就是 6 4 1 3 9 2 5 7 8 0。
显然，算法 2 的贪心策略对于这个问题是不可行的。不能着眼于每条路径的头，而是要找编号最小的节点在哪条路径上，优先把这条路径拿出来。但问题在于，在 BFS 的过程中，我们只能看到每条路径的头，看不到后面的节点，这该怎么办呢？
让我们换个角度想一想，节点 3 和 6，应该是 6 先出队列，因为节点 1 在 6 的后面。这和节点 3 和 6 的编号大小没有任何关系。但是，再看另外两条路径的尾部，节点 2 和 8，可以肯定地说，2 一定先出队列，因为它们后面都没有别的节点了，这个时候完全以这两个节点本身的编号大小决定顺序。归纳起来就是说，对于若干条平行的路径，小的头部不一定排在前面，但是大的尾部一定排在后面。于是，就有了算法 3。
1. 把所有出度为 0 的节点放进优先队列 PQ
2. WHILE： PQ 不是空队列
3. 从 PQ 中取出编号最大的元素 a，把 a 添加到答案的头部。
4. FOR：所有指向 a 的边 b → a
5. 把 b 的出度减 1。如果 b 的出度变为 0，则把 b 放进优先队列PQ。
算法 3 求出本题目要求的拓扑序
1 /*
2 * 3687.cc
3 *
4 * Created on: May 17, 2010
5 * Author: LR-Zhi
6 */
7 /*
8 * 题意：对标记1－N的球，赋重，使其满足一定的重量大小要求。实质是根据给出的关系建图，拓扑排序，排序中标号排在的位置，即为其应赋的重量。
9 * 本题在基本的拓扑排序前提下多加一个条件，编号小的点尽量排在前面。
10 *
11 * 易知，典型的拓扑排序满足不了题目小号排前的要求，可以采用反向拓扑排序，加优先队列完成。
12 */
13
14 #include<iostream>
15 #include<queue>
16
17 using namespace std;
18
19 const int MAXN = 201;
20
21 bool G[MAXN][MAXN];
22 int degree[MAXN];
23 int sorted[MAXN];
24
25 bool TopSort(int n)
26 {
27 priority_queue<int> q;
28 int cur;
29 int nElem = n;
30
31 for(int i = 1; i <= n; i++)
32 {
33 if(degree[i] == 0)
34 {
35 q.push(i);
36 }
37 }
38 while(!q.empty())
39 {
40 cur = q.top();
41 sorted[nElem--] = cur;
42 q.pop();
43
44 for(int j = 1; j <= n; j++)
45 {
46 if(G[j][cur])
47 {
48 degree[j]--;
49 if(degree[j] == 0)
50 {
51 q.push(j);
52 }
53 }
54 }
55 }
56 if(nElem != 0) //存在环
57 {
58 return false;
59 }
60 return true;
61 }
62
63 int main()
64 {
65 int T,N,M;
66 int a,b;
67
68 int i,j;
69
70 cin>>T;
71 while(T--)
72 {
73 cin>>N>>M;
74 for(i = 1; i <= N; i++)
75 {
76 for(j = 1; j <= N; j++)
77 {
78 G[i][j] = false;
79 }
80 degree[i] = 0;
81 }
82 for(i = 0; i < M; i++)
83 {
84 cin>>a>>b;
85 if(!G[a][b]) //注意，有重边，计degree时不能多计
86 {
87 G[a][b] = true;
88 degree[a]++;
89 }
90 }
91
92 if(!TopSort(N))
93 {
94 cout<<"-1"<<endl;
95 }
96 else
97 {
98 int weigh[MAXN];
99 for(i = 1; i <= N; i++)
100 {
101 weigh[sorted[i]] = i;
102 }
103 for(i = 1; i <= N; i++)
104 {
105 cout<<weigh[i]<<" ";
106 }
107 cout<<endl;
108 }
109 }
110 }
111
112