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PKU 3260 The Fewest Coins --- 完全背包 + 01背包

题意：John去买东西，东西的价格是T(1 <= T <= 10000)，John所在的地方有n(1 <= n <= 100)种的硬币，面值分别为V1, V2, ..., Vn (1 <= Vi <= 120)。John带了C1枚面值为V1的硬币，C2枚面值为V2的硬币，...，Cn枚面值为Vn的硬币(0 <= Ci <= 10000)。售货员那里每种硬币都有无限多个。问为了支付这个T，John给售货员的硬币数目加上售货员找回的零钱的硬币数目最少是多少。如果无法支付T，输出-1 。

解法：支付时硬币数量有限制，为多重背包问题，通过二进制方法转化为01背包求解。找零时，硬币数量无限制，为完全背包问题。对两问题分别求解，然后找出差额为T时，两者和的最小值即为所示。

其中：给钱上界为：T+maxValue^2，其中maxValue为最大硬币面值。证明：反证法。假设存在一种支付方案，John给的钱超过T+maxValue^2， 则售货员找零超过maxValue^2，则找的硬币数目超过maxValue个，将其看作一数列，求前n项和sum(n)，根据鸽巢原理，至少有两 个对maxValue求模的值相等，假设为sum(i)和sum(j),i<j，则i+1...j的硬币面值和为maxValue的倍数，同理，John给的钱中也有 一定数量的硬币面值和为maxValue的倍数，则这两堆硬币可用数量更少的maxValue面值硬币代替，产生更优方案。

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posted on 2010-12-06 21:27 David Liu 阅读(609) 评论(0)  编辑 收藏 引用 所属分类: 动态规划


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