Mato is No.1

有向无环图的最小路径覆盖问题包括两种（设G是一个有向无环图，S是G的一个路径集合）：
（1）最小点路径覆盖：满足对于G中所有的点i，i在S中的一条路径中出现，且只在S中的一条路径中出现，求S的最小容量；
（2）最小边路径覆盖：满足对于G中所有的边E，E在S中的一条路径中出现，且只在S中的一条路径中出现，求S的最小容量；

（1）最小点路径覆盖：
建立一个新图，将G中的每个点i在新图中拆成两个点i'、i''，若G中存在边<i, j>则在新图中连边<i', j''>，显然新图是一个二分图，求其最大匹配，则(N-新图最大匹配的值)就是最小点路径覆盖值。
时间复杂度：O(NM)（Hungary算法）

（2）最小边路径覆盖：
对于图中的每个点i，设D[i]为(i的入度-i的出度)的值，按照D[i]将图中的点分类：D[i]<0的称为“入少出多”的点，D[i]>0的称为“出少入多”的点，D[i]=0的称为“入出相等”的点。则有：
定理 有向无环图中最小边路径覆盖的值等于图中所有“入少出多”的点的D值之和。
证明：
其实只需证明：对于一个至少有一条边的有向无环图，必然存在一条路径，其起点是“入少出多”的点，终点是“出少入多”的点，所有中间点都是“入出相等”的点（只要不断的在图中找到并删去这条路径，直到图中无边为止）。
首先，由于图中无环，一定存在“入少出多”的点和“出少入多”的点。
然后，假设图中所有“入少出多”的点的后继（注意：后继和后代是不同的，一个点的后代包括这个点的所有后继、所有后继的后继、所有后继的后继的后继……）也都是“入少出多”的点，则图中所有“入少出多”的点构成了一个闭合子图，在这个闭合子图中，由于所有的点都是“入少出多”的，整个子图的入度之和必然大于出度之和，这是不可能的（有向图中的所有点入度之和必然等于所有点出度之和），故可得：图中必然存在至少一个“入少出多”的点，它有不是“入少出多”的后继。
这样，在这些拥有不是“入少出多”的后继的点中选择一个点i，将其作为路径的起点，在它的不是“入少出多”的后继中选出一个点j，若j是“出少入多”的点，则边<i, j>就是符合条件的一条路径，结束；若这样的j都是“入出相等”的点，则考虑j的后代：j的后继可能都是“入少出多”的，但j的后代中必然存在至少一个点j'不是“入少出多”的（否则j的所有后代也将构成全都是“入少出多”的闭合子图），这些j'中必然存在一个点的前趋i'是“入少出多”的，这是，需要舍弃原来的路径，将i'作为新路径的起点，j'作为新路径的第一个中间点，继续找；若j的后继不全是“入少出多”的，则若其中有“出少入多”的则路径已找到，若都是“入出相等”的，由于图中无环，将路径不断延伸，最终一定会找到合法路径。

由此可得，对于任何有向无环图，这样的路径都是存在的，也就证明了一开始的求最小边路径覆盖值的定理。
求有向无环图最小边路径覆盖值的时间复杂度：O(M+N)。