Posted on 2011-04-05 16:23
Mato_No1 阅读(3023)
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网络流
图的连通度问题是指：在图中删去部分元素（点或边），使得图中指定的两个点s和t不连通（不存在从s到t的路径），求至少要删去几个元素。
图的连通度分为点连通度和边连通度：
（1）点连通度：只许删点，求至少要删掉几个点（当然，s和t不能删去，这里保证原图中至少有三个点）；
（2）边连通度：只许删边，求至少要删掉几条边。
并且，有向图和无向图的连通度求法不同，因此还要分开考虑（对于混合图，只需将其中所有的无向边按照无向图的办法处理、有向边按照有向图的办法处理即可）。
【1】有向图的边连通度：
这个其实就是最小割问题。以s为源点，t为汇点建立网络，原图中的每条边在网络中仍存在，容量为1，求该网络的最小割（也就是最大流）的值即为原图的边连通度。
【2】有向图的点连通度：
需要拆点。建立一个网络，原图中的每个点i在网络中拆成i'与i''，有一条边<i', i''>，容量为1（<s', s''>和<t', t''>例外，容量为正无穷）。原图中的每条边<i, j>在网络中为边<i'', j'>，容量为正无穷。以s'为源点、t''为汇点求最大流，最大流的值即为原图的点连通度。
说明：最大流对应的是最小割。显然，容量为正无穷的边不可能通过最小割，也就是原图中的边和s、t两个点不能删去；若边<i, i''>通过最小割，则表示将原图中的点i删去。
【3】无向图的边连通度：
将图中的每条边(i, j)拆成<i, j>和<j, i>两条边，再按照有向图的办法（【1】）处理；
【4】无向图的点连通度：
将图中的每条边(i, j)拆成<i, j>和<j, i>两条边，再按照有向图的办法（【2】）处理。