Posted on 2010-08-06 09:00
MiYu 阅读(1246)
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ACM ( 水题 ) 、
ACM ( 递推 & 递归 )
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http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2064题目描述:
汉诺塔III
约19世纪末，在欧州的商店中出售一种智力玩具，在一块铜板上有三根杆，最左边的杆上自上而下、由小到大顺序串着由64个圆盘构成的塔。目的是将最左边杆上的盘全部移到右边的杆上，条件是一次只能移动一个盘，且不允许大盘放在小盘的上面。
现在我们改变游戏的玩法，不允许直接从最左(右)边移到最右(左)边(每次移动一定是移到中间杆或从中间移出)，也不允许大盘放到下盘的上面。
Daisy已经做过原来的汉诺塔问题和汉诺塔II，但碰到这个问题时，她想了很久都不能解决，现在请你帮助她。现在有N个圆盘，她至少多少次移动才能把这些圆盘从最左边移到最右边？
汉诺塔是个很经典的递推实例, 如果规则没这么变态，允许直接从1跨越到3，那n个盘最少需要2n - 1次。
而这里增加了一些新的规则, 我们可以如下分析, 怎样把
n个盘从
1搬到
3 :
第1步:初始状态:
第2步:把上面的n-1个盘移到第3号杆上:
第3步:把第n个盘从1移到2:
第4步:把前n-1个从3移到1，给第个盘让路:
第5步:把第n个盘从2移到3:
第6步:把前n-1个从移到3，完成移动:
我们设f(n)为把n个盘从1移到3所需要的步数，当然也等于从3移到1的步数。
由上面的图我们可以看到,要想把第n个盘从1移到3，需要3个步骤 :
1.) 把前n-1个从1移动3 .
2.) 第n个盘要从1->2->3经历2步.
3.) 而前n-1个盘需要先 3->1 ( 这是为了给 第n个盘让路 ), 最后再 1->3。
∴f(n) = 3 × f(n-1) + 2;
f(1) = 2;
这样我们就得到了这一题的递推公式, 当然我们可以做进一步的优化 , 优化方法如下:
f(n) = 3 × f(n-1) + 2
f(1) = 2
=>
f(n) + 1 = 3 × [f(n-1) + 1]
f(1) + 1 = 2 + 1 = 3
=>
f(n) + 1 = 3n
=>
f(n) = 3n - 1
最后贴上代码 :
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#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
long long myPow ( int n , int e )
{
long long mlt = 1;
for ( int i = 1; i <= e ; ++ i )
{
mlt *= n;
}
return mlt;
}
int main ()
{
int N;
while ( cin >> N )
{
cout << myPow ( 3, N ) - 1 << endl;
}
return 0;
}