|
Posted on 2010-08-07 17:03 MiYu 阅读(1166) 评论(0) 编辑 收藏 引用 所属分类: ACM ( 数论 ) 、 ACM_资料
【问题描述】: 试编写一个程序,找出2->N之间的所有质数。希望用尽可能快的方法实现。
【问题分析】: 这个问题可以有两种解法:一种是用“筛子法”,另一种是“除余法”。 如果要了解“除余法”,请看另一篇文章《求质数 之 除余法(C语言描述)》。
这里我们来讨论一下用“筛法”来解决这个问题。 先来举个简单的例子来介绍一下“筛法”,求2~20的质数,它的做法是先把2~20这些数一字排开: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 先取出数组中最小的数,是2,则判断2是质数,把后面2的倍数全部删掉。 2 | 3 5 7 9 11 13 15 17 19 接下来的最小数是3,取出,再删掉3的倍数 2 3 | 5 7 11 13 17 19 一直这样下去,直到结束。剩下的数都是素数。
筛法的原理是: 1.数字2是素数。 2.在数字K前,每找到一个素数,都会删除它的倍数,即以它为因子的整数。如果k未被删除,就表示2->k-1都不是k的因子,那k自然就是素数了。
(1)除余法那篇文章里也介绍了,要找出一个数的因子,其实不需要检查2->k,只要从2->sqrt(k),就可以了。所有,我们筛法里,其实只要筛到sqrt(n)就已经找出所有的素数了,其中n为要搜索的范围。 (2)另外,我们不难发现,每找到一个素数k,就一次删除2k, 3k, 4k,, ik,不免还是有些浪费,因为2k已经在找到素数2的时候删除过了,3k已经在找到素数3的时候删除了。因此,当i<k时,都已经被前面的素数删除过了,只有那些最小的质因子是k的那些数还未被删除过,所有,就可以直接从k*k开始删除。 (3)再有,所有的素数中,除了2以外,其他的都是奇数,那么,当i时奇数的时候,ik就是奇数,此时k*k+ik就是个偶数,偶数已经被2删除了,所有我们就可以以2k为单位删除步长,依次删除k*k, k*k+2k, k*k+4k, 。 (4)我们都清楚,在前面一小段范围内,素数是比较集中的,比如1->100之间就有25个素数。越到后面就越稀疏。 因为这些素数本身值比较小,所以搜索范围内,大部分数都是它们的倍数,比如搜索1->100,这100个数。光是2的倍数就有50个,3的倍数有33个,5的倍数20个,7的倍数14个。我们只需搜索到7就可以,因此一共做删除操作50+33+20+14=117次,而2和3两个数就占了83次,这未免太浪费时间了。 所以我们考虑,能不能一开始就排除这些小素数的倍数,这里用2和3来做例子。 如果仅仅要排除2的倍数,数组里只保存奇数:1、3、5,那数字k的坐标就是k/2。 如果我们要同时排除2和3的倍数,因为2和3的最小公倍数是6,把数字按6来分组:6n, 6n+1, 6n+2, 6n+3, 6n+4, 6n+5。其中6n, 6n+2, 6n+4是2的倍数,6n+3是3的倍数。所以数组里将只剩下6n+1和6n+5。n从0开始,数组里的数字就一次是1, 5, 7, 11, 13, 17。 现在要解决的问题就是如何把数字k和它的坐标i对应起来。比如,给出数字89,它在数组中的下标是多少呢?不难发现,其实上面的序列,每两个为一组,具有相同的基数n,比如1和5,同是n=0那组数,6*0+1和6*0+5;31和35同是n=5那组,6*5+1和6*5+5。所以数字按6分组,每组2个数字,余数为5的数字在后,所以坐标需要加1。 所以89在第89/6=14组,坐标为14*2=28,又因为89%6==5,所以在所求的坐标上加1,即28+1=29,最终得到89的坐标i=29。同样,找到一个素数k后,也可以求出k*k的坐标等,就可以做筛法了。 这里,我们就需要用k做循环变量了,k从5开始,交替与2和4相加,即先是5+2=7,再是7+4=11,然后又是11+2=13。这里我们可以再设一个变量gab,初始为4,每次做gab = 6 - gab,k += gab。让gab在2和4之间交替变化。另外,2和4都是2的幂,二进制分别为10和100,6的二进制位110,所以可以用k += gab ^= 6来代替。参考代码:
gab = 4; for (k = 5; k * k <= N; k += gab ^= 6) { } 但我们一般都采用下标i从0->x的策略,如果用i而不用k,那应该怎么写呢? 由优化策略(1)可知,我们只要从k2开始筛选。n=i/2,我们知道了i对应的数字k是素数后,根据(2),那如何求得k2的坐标j呢?这里假设i为偶数,即k=6n+1。 k2 = (6n+1)*(6n+1) = 36n2 + 12n + 1,其中36n2+12n = 6(6n2+2n)是6的倍数,所以k2除6余1。 所以k2的坐标j = k2/6*2 = 12n2+4n。 由优化策略(2)可知,我们只要依次删除k2+2l×k, l = 0, 1, 2。即(6n+1)×(6n+1+2l)。 我们发现,但l=1, 4, 7时,(6n+1+2l)是3的倍数,不在序列中。所以我们只要依次删除k2, k2+4l, k2+4l+2l,又是依次替换2和4。 为了简便,我们可以一次就删除k2和k2+4l两项,然后步长增加6l。所以我们需要求len=4l和stp=6l。不过这里要注意一点,k2+4k=(6n+1)*(6n+5),除以6的余数是5,坐标要加1。 len = k*(k+4)/6*2 - k2/6*2 = (6n+1)*(6n+1+4)/6*2+1 - (6n+1)*(6n+1)/6*2 = (12n2+12n+1) - (12n2+4n) = 8n+1; stp = k*(k+6)/6*2 - k2/6*2 = 12n+2;
最终,我们得到: len = 8n+1; stp = 12n+2; j = 12n2+4n;
同理可以求出k=6n+5时的情况: len = 4n+3; stp = 12n+10; j = 12n2+20n+8;
下面的代码在实现上用了位运算,可能有点晦涩。
★注:第5种优化方法还是理论阶段,下面的代码中并未采用这种优化算法,仅供大家参考。 (5)由(2)可知,如果每找到一个素数k,能依次只删除以k为最小素数因子的数,那么每个数字就都只被删除一次,那这个筛法就能达到线性的O(n)效率了。比如数字600 = 2*2*3*5*11,其中2是它的最小素数因子。那这个数就被2删除了。3、5、11虽然都是它的因子,但不做删除它的操作。要实现这种策略,那每找到一个素数k,那从k开始,一次后面未被删除的数字来与k相乘,删除它们的积。比如要筛出2~60之间的素数:
1.先列出所有的数。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
2.选出序列中的第一个数,即2,判断它是素数,然后从2开始,依次与剩下的未被删除的数相乘,删除它们的积。即2*2=4, 2*3=6,2*4=8。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 02 | 03 05 07 09 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59
3.去掉2后,再选出序列中第一个数,即3,判断它是素数,然后从3开始,依次与剩下的数相乘,即3*3=9,3*5=15,3*7=21 02 | 03 05 07 09 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 02 03 | 05 07 11 13 15 17 19 23 25 29 31 35 37 41 43 47 49 53 55 59
4.去掉3后,选出最小的数5,为素数,依次删除5*5=25,5*7=35,5*11=55, 02 03 | 05 07 11 13 15 17 19 23 25 29 31 35 37 41 43 47 49 53 55 59 02 03 05 | 07 11 13 15 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 59
5.去掉5后,选出最小的数7,为素数,删除7*7=49, 02 03 05 | 07 11 13 15 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 59 02 03 05 | 07 11 13 15 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
6.去掉7后,第一个数11的平方121大于60,所以结束。剩下的数字全为素数。 02 03 05 07 11 13 15 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 |
上面的操作效率很高,但在计算机中模拟的时候却又很大的障碍: 首先,计算机内存是一维的空间,很多时候我们不能随心所欲,要实现上面的算法,要求这个数据结构既能很高效地查找某个特定的值,又能不费太大代价对序列中的元素进行删除。高效地查找,用数组是最合适的了,能在O(1)的时间内对内存进行读写,但要删除序列中一个元素却要O(n);单链表可以用O(1)的时间做删除操作,当然要查找就只能是O(n)了。所以这个数据结构很难找。 其次,筛法的一个缺点就是空间浪费太大,典型的以空间换时间。如果我们对数组进行压缩,比如初始时就排除了所有偶数,数组0对应数字1,1对应3,。这样又会因为多了一道计算数字下标的工序而浪费时间。这又是一个矛盾的问题。 也许我们可以试试折中的办法:数据结构综合数组和链表2种,数组用来做映射记录,链表来记录剩下的还未被删除的数据,而且开始也不必急着把链表里的节点释放掉,只要在数组里做个标记就可以了。下次遍历到这个数字时才删除。这样为了删除,可以算只遍历了一次链表,不过频繁地使用free()函数,也许又会减低效率。总之,我们所做的,依然是用空间来换时间,记录更多的信息,方便下次使用,减少再次生成信息所消耗的时间。
【程序清单】:
#include <time.h> #include <stdio.h>
#define N 100000000 #define size (N/6*2 + (N%6 == 5? 2: (N%6>0)))
int p[size / 32 + 1] = {1};
int creat_prime(void) { int i, j; int len, stp; int c = size + 1;
for (i = 1; ((i&~1)<<1) * ((i&~1) + (i>>1) + 1) < size; i++) { if (p[i >> 5] >> (i & 31) & 1) continue; len = (i & 1)? ((i&~1)<<1) + 3: ((i&~1)<<2) + 1; stp = ((i&~1)<<1) + ((i&~1)<<2) + ((i & 1)? 10: 2); j = ((i&~1)<<1) * (((i&~1)>>1) + (i&~1) + 1) + ((i & 1)? ((i&~1)<<3) + 8 + len: len); for (; j < size; j += stp) { if (p[j >> 5] >> (j & 31) & 1 ^ 1) p[j >> 5] |= 1L << (j & 31), --c; if (p[(j-len) >> 5] >> ((j-len) & 31) & 1 ^ 1) p[(j-len) >> 5] |= 1L << ((j-len) & 31), --c; } if (j - len < size && (p[(j-len) >> 5] >> ((j-len) & 31) & 1 ^ 1)) p[(j-len) >> 5] |= 1L << ((j-len) & 31), --c; }
return c; }
int main(void) { clock_t t = clock();
printf("%d ", creat_prime()); printf("Time: %f ", 1.0 * (clock() - t) / CLOCKS_PER_SEC); }
【运行结果】: 5761455 Time: 0.300000
运行环境:Linux debian 2.6.26-1-686、GCC (Debian 4.3.2-1.1) 4.3.2
【算法比较】: 现在,我们已经拥有初步改进的“筛法”和“除余法”的函数了,把它们加到自己的函数库里。方便下次调用。 这里,我想说一下个人对这两种算法的使用经验: 就时间效率上讲,筛法绝对比除余法高。比如上面的代码,可以在半秒内筛一亿以内的所有素数。如果用除余法来解决这样的问题,绝对可以考验一个人的耐性。因此,在搜索空间比较大的时候,“筛法”无疑会是首选。 但筛法是以空间换时间,用除余法,我们只要开一个可以容纳结果的数组就可以了,而筛法开的数组要求可以容纳整个搜索范围;另外,我们用“除余法”得到的结果,是一个已经排好序的素数序列,如果要解决的问题需要用到这些连续的素数,而且搜索范围也不大,那显然除余法很适合。而“筛法”得到的结果,是一个布尔型的表格,通过它,你可以很轻松的判断某个数是不是素数,但如果你想知道这个素数的下一个素数是多大,可能要费点劲了。
本文转载自 :
版权声明
本人的所有原创文章皆保留版权,请尊重原创作品。 转载必须包含本声明,保持本文完整,并以超链接形式注明原始作者“redraiment”和主站点上的本文原始地址。
联系方式
我的邮箱,欢迎来信(redraiment@gmail.com) 我的Blogger(子清行) 我的Google Sites(子清行) 我的CSDN博客(梦婷轩) 我的百度空间(梦婷轩)
|