Posted on 2010-08-07 21:37
MiYu 阅读(1159)
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ACM ( 数论 ) 、
ACM ( 组合 )
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题目地址:
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2067
题目描述:
Problem Description
小兔的叔叔从外面旅游回来给她带来了一个礼物，小兔高兴地跑回自己的房间，拆开一看是一个棋盘，小兔有所失望。不过没过几天发现了棋盘的好玩之处。从起点(0，0)走到终点(n,n)的最短路径数是C(2n,n),现在小兔又想如果不穿越对角线(但可接触对角线上的格点)，这样的路径数有多少?小兔想了很长时间都没想出来，现在想请你帮助小兔解决这个问题，对于你来说应该不难吧!
Input
每次输入一个数n(1<=n<=35)，当n等于－1时结束输入。
Output
对于每个输入数据输出路径数，具体格式看Sample。
Sample Input
1
3
12
-1
Sample Output
1 1 2
2 3 10
3 12 416024
题目分析:
假设小兔的棋盘是 8 × 8 的 ( 当然你也可以假设是其他 )。如下图:
箭头方向表示从该格子下一步能去的格子。因为不能穿越对角线，所有对角线上的格子只有进去的箭头，没有出来的箭头。
观察上图你就可以发现，其实这是一张关于对角线对称的图。所有我们只要求一个方向的值，然后乘以2即可。
我们就拿下三角来考虑。不难发现，所有在0列上的格子，路径数都是
1 (只能从上面过来)。
而其他格子则都是由上、左两个方向过来，即:
f(i, j) = f(i - 1, j) + f(i, j - 1);
另外
f(i, i) = f(i, j - 1) 或者 f(i, i) = f( i-1, j ) ;
代码如下:
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#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long int64;
int64 f[37][37];
int main()
{
int ca=0;
int N;
while ( cin >> N , N + 1 )
{
++ ca;
for ( int i = 1;i <= N; ++ i )
{
f[0][i] = 1;
}
for ( int i = 1; i < N; ++ i )
{
for ( int j = i; j <= N; ++ j )
{
if ( i == j )
{
f[i][j] = f[i-1][j];
}
else
{
f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1];
}
}
}
printf("%d %d %I64d\n", ca, N, 2 * f[N-1][N] );
}
return 0;
}
另外看别人的解题报告说这个是卡特兰数 ( 详细请查看
<<卡特兰数>> ), 其实现在还不理解, 分析如下:
Catalan数。。
令h(1)＝1,h(0)=1，catalan数满足递归式：
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + 
+ h(n-1)h(0) (其中n>=2)
另类递归式：
h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);
该递推关系的解为：
h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,…)
附卡特兰代码:
#include<stdio.h>
int main()
{
__int64 a[37][37]={0};
int i,j,n,t=0;
a[0][0]=0;
a[0][1]=1;
a[1][1]=2;
for(i=2;i<37;i++)
{
a[i][0]=1;
for(j=1;j<i-1;j++)
a[i][j]=a[i][j-1]+a[i-1][j];
a[i][i-1]=a[i][i-2]+a[i-1][i-1]/2;
a[i][i]=2*a[i][i-2]+a[i-1][i-1];
}
while(scanf("%d",&n)&&n!=-1)
{
printf("%d %d %I64d\n",++t,n,a[n][n]);
}
return 0;
}