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简单介绍下 树状数组 :

     　　 树状数组是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构，假设数组a[1...n]，那么查询a[1] + …… + a[i]　的时间是log级别的，而且是一个在线的数据结构，支持随时修改某个元素的值，复杂度也为log级别。

来观察一下这个图：

令这棵树的结点编号为C1，C2……Cn。令每个结点的值为这棵树的值的总和，那么容易发现：

C1 = A1

C2 = A1 + A2

C3 = A3

C4 = A1 + A2 + A3 + A4

C5 = A5

C6 = A5 + A6

C7 = A7

C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8

……

C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16

这里有一个有趣的性质，下午推了一下发现：

设节点编号为x，那么这个节点管辖的区间为2^k（其中k为x二进制末尾0的个数）个元素。因为这个区间最后一个元素必然为Ax，所以很明显：

Cn = A(n – 2^k + 1) + …… + An

算这个2^k有一个快捷的办法，定义一个函数如下即可：

int lowbit(int x){

return x & (x ^ (x – 1));

}

当想要查询一个SUM(n)时，可以依据如下算法即可：

step1:　令sum = 0，转第二步；

step2:　假如n <= 0，算法结束，返回sum值，否则sum = sum + Cn，转第三步；

step3:  令n = n – lowbit(n)，转第二步。

可以看出，这个算法就是将这一个个区间的和全部加起来，为什么是效率是log(n)的呢？以下给出证明：

n = n – lowbit(n)这一步实际上等价于将n的二进制的最后一个1减去。而n的二进制里最多有log(n)个1，所以查询效率是log(n)的。

那么修改呢，修改一个节点，必须修改其所有祖先，最坏情况下为修改第一个元素，最多有log(n)的祖先。所以修改算法如下（给某个结点i加上x）：

step1: 当i > n时，算法结束，否则转第二步；

step2: Ci = Ci + x， i = i + lowbit(i)转第一步。

i = i +lowbit(i)这个过程实际上也只是一个把末尾1补为0的过程。

//修改过程必须满足减法规则！

所以整个程序如下：

const int MAX = 50000;

#define lowbit(x) ((x)&(-x))

int com[ MAX + 1 ],N,T;

void modify ( int pos, int val ){

     while ( pos <= N ){

            com[pos] += val;

            pos = pos + lowbit(pos);  

     } 

}

int quy ( int x ){

    int sum = 0;

    while ( x > 0 ){

           sum = sum + com[x];

           x = x - lowbit(x);

    } 

    return sum;

}

初始化 :  　　 for ( int i = 1; i <= N; ++ i ){

                       scanf ( "%d",&x );

                       modify ( i, x ); 

                 }