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 B-F 

适用条件&范围

1. 单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);
2. 有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图);
3. 边权可正可负(如有负权回路输出错误提示);
4. 差分约束系统;

算法描述

1. 对每条边进行|V|-1次Relax ( 就是松弛操作 )操作;
2. 如果存在(u,v)∈E使得dis[u]+w<dis[v],则存在负权回路;否则dis[v]即为s到v的最短距离,pre[v]为前驱。

For i:=1 to |V|-1 do //v为顶点数
For 每条边(u,v)∈E do  //对每条边进行遍历
  Relax(u,v,w);
For每条边(u,v)∈E do
  If dis[u]+w<dis[v] Then Exit(False)

时空复杂度

算法时间复杂度O(VE)。因为算法简单，适用范围又广，虽然复杂度稍高，仍不失为一个很实用的算法。

算法的改进---> SPFA 

算法简介

SPFA(Shortest Path Faster Algorithm)是Bellman-Ford算法的一种队列实现，减少了不必要的冗余计算。也有人说SPFA本来就是Bellman-Ford算法，现在广为流传的Bellman-Ford算法实际上是山寨版。

算法流程

算法大致流程是用一个队列来进行维护。 初始时将源加入队列。 每次从队列中取出一个元素，并对所有与他相邻的点进行松弛，若某个相邻的点松弛成功，则将其入队。 直到队列为空时算法结束。

这个算法，简单的说就是队列优化的bellman-ford,利用了每个点不会更新次数太多的特点发明的此算法

SPFA——Shortest Path Faster Algorithm，它可以在O(kE)的时间复杂度内求出源点到其他所有点的最短路径，可以处理负边。SPFA的实现甚至比Dijkstra或者Bellman_Ford还要简单：

设Dist代表S到I点的当前最短距离，Fa代表S到I的当前最短路径中I点之前的一个点的编号。开始时Dist全部为+∞，只有Dist[S]=0，Fa全部为0。

维护一个队列，里面存放所有需要进行迭代的点。初始时队列中只有一个点S。用一个布尔数组记录每个点是否处在队列中。

每次迭代，取出队头的点v，依次枚举从v出发的边v->u，设边的长度为len，判断Dist[v]+len是否小于Dist[u]，若小于则改进Dist[u]，将Fa[u]记为v，并且由于S到u的最短距离变小了，有可能u可以改进其它的点，所以若u不在队列中，就将它放入队尾。这样一直迭代下去直到队列变空，也就是S到所有的最短距离都确定下来，结束算法。若一个点入队次数超过n，则有负权环。

SPFA 在形式上和宽度优先搜索非常类似，不同的是宽度优先搜索中一个点出了队列就不可能重新进入队列，但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列，也就是一个点改进过其它的点之后，过了一段时间可能本身被改进，于是再次用来改进其它的点，这样反复迭代下去。设一个点用来作为迭代点对其它点进行改进的平均次数为k，有办法证明对于通常的情况，k在2左右

算法代码

Procedure SPFA;
 
Begin
  initialize-single-source(G,s);
  initialize-queue(Q);
  enqueue(Q,s);
  while not empty(Q) do 
    begin
      u:=dequeue(Q);
      for each v∈adj[u] do 
        begin
          tmp:=d[v];
          relax(u,v);
          if (tmp<>d[v]) and (not v in Q) then
            enqueue(Q,v);
        end;
    end;
End;

procedure spfa;
begin
  fillchar(q,sizeof(q),0); h:=0; t:=0;//队列
  fillchar(v,sizeof(v),false);//v[i]判断i是否在队列中
  for i:=1 to n do 
    dist[i]:=maxint;//初始化最小值
 
  inc(t);
  q[t]:=1;
  v[1]:=true;
  dist[1]:=0;//这里把1作为源点
 
  while h<>t do
    begin
      h:=(h mod n)+1;
      x:=q[h];
      v[x]:=false;
      for i:=1 to n do
        if (cost[x,i]>0) and (dist[x]+cost[x,i]<dist[i]) then
          begin
            dist[i]:=dist[x]+cost[x,i];
            if not(v[i]) then
              begin
                t:=(t mod n)+1;
                q[t]:=i;
                v[i]:=true;
              end;
          end;
    end;
end;

void SPFA(void)//好久以前写的……今天丢上来……话说我都不记得SPFA怎么写了……囧……ms存图是矩阵……嗯嗯
{
 int i;
 queue list;
 list.insert(s);
 for(i=1;i<=n;i++)
  {
   if(s==i)
    continue;
   dist[i]=map[s][i];
   way[i]=s;
   if(dist[i])
   list.insert(i);
  }
 int p;
 while(!list.empty())
 {
  p=list.fire();
  for(i=1;i<=n;i++)
   if(map[p][i]&&(dist[i]>dist[p]+map[p][i]||!dist[i])&&i!=s)
    {
     dist[i]=dist[p]+map[p][i];
     way[i]=p;
     if(!list.in(i))
      list.insert(i);
    }
 }
}