卷积与平滑滤波器的图像处理应用

卷积的介绍

卷积（convolution）是泛函分析里的一个概念，不过泛函分析一般都是数学系才学的，计算机系的学生大多在概率统计课本里了解到。它分为两种形式，一个是离散形式，一个是连续（积分）形式。在图像处理中我们更关心离散卷积，不过也先看看积分形式的卷积。现在假设我们有两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ ，这里 $g(x)$ 又叫做平滑函数或者卷积核，那么它们在连续空间的卷积是：

$(f*g)(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)g(x-t)dt$

一般我们有一个这样的结论，就是当 $f(x)$ 经过足够多次相同平滑函数 $g(x)$ 卷积，就会足够接近高斯函数，也就是正态分布的函数形式。卷积就是一种平滑操作，这说明高斯函数就是“最平滑的函数”。引入热力学中熵的概念，高斯函数就是拥有最高熵的函数，最稳定的状态，以至于自然界大多数的统计规律都呈现出正态分布：

$((\cdots((f*g)*g)\cdots)*g)(x) \rightarrow \frac 1{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/{\sigma^2}}$

下面介绍离散形式的卷积。这卷积，首先是由有限项的多项式体现。神奇的是，而它们的乘积就是卷积。首先我们设有两个多项式 $p = a_0 + a_1 x + a_2 x^2$ 以及 $q = b_0 + b_1 x + b_2 x^2 + b_3 x^3$ 。计算它们的乘积：

$\begin{align*} r = p\cdot q &= (a_0 b_0) \\ &+ (a_0 b_1 + a_1 b_0) x \\ &+ (a_0 b_2 + a_1 b_1+ a_2 b_0) x^2 \\ &+ (a_0 b_3 + a_1 b_2 + a_2 b_1) x^3 \\ &+ (a_1 b_3 + a_2 b_2) x^4 \\ &+ (a_2 b_3) x^5 \end{align*}$

再引入离散形式卷积（向量卷积）的定义，大家比较一下这个定义和上面多项式的计算。稍微说明一下，中括号的意义是p[n]代表向量第n个元素。将两个多项式的系数写成向量形式然后进行向量卷积，也就是例如 $p = [a_0, a_1, a_2]$ ，而没定义的地方当作0。可以发现，两者是完全一致的：

$\begin{align*} (p * q)[n] &= \sum_{m=-\infty}^\infty p[m]\cdot q[n-m] \\ r[1] &= \sum_{m=0}^1 p[m]\cdot q[1-m] &&= a_0 b_1 + a_1 b_0 \\ r[2] &= \sum_{m=0}^2 p[m]\cdot q[2-m] &&= a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0 \\ &\cdots \end{align*}$

知道了多项式的乘积就是其相应的卷积，我们甚至可以直接得出两个幂级数卷积的结果。因为泰勒级数就是幂级数的一种，所以我们可以将几乎所有的连续函数转换成离散形式，避免了繁复的积分运算：比如我们希望得到 $r(x) = p(x) * q(x)$ ，其中 $p(x) = \sum a_i x^i,\ q(x) = \sum b_i x^i$ ，只需要简单地计算这两个级数的柯西乘积，所得结果就是 $r(x)$ 的卷积。当然了，这是后话，与本文的主题无关。

卷积与图像处理

在开始讲图像处理之前，我希望先理解一下卷积的整个过程是怎样的。从上面的公式看得还是有点懵懵懂懂，从直觉上去理解一下很有必要。观察卷积的公式以及下面的图片，这个过程可以看作，当你想求一个r[n]的时候：

你先把卷积核q叠在p上面，尽量使左端靠近（如果左对齐就再好不过了），然后看看在[0, n]内p, q重叠的部分是从哪里到哪里，分别写成向量，那么r[n]就等于其中一个向量与另一个向量的逆序的内积。

比如当n = 2时，两个向量是[a_0, a_1, a_2]和[b_2, b_1, b_0]；n = 4时，两个向量是[a_1, a_2, a_3, a_4]和[b_3, b_2, b_1, b_0]。至于求内积，一定难不倒你。下图说明了这一点：

$\begin{align*} && a_0 && a_1 && a_2 && a_3 && a_4 \\ && a_0b_0 && a_0b_1 && a_0b_2 && a_0b_3 \\ && && a_1b_0 && a_1b_1 && a_1b_2 && a_1b_3 \\ && && && a_2b_0 && a_2b_1 && a_2b_2 && a_2b_3 \\ && && && && a_3b_0 && a_3b_1 && a_3b_2 && a_3b_3 \\ && && && && && a_4b_0 && a_4b_1 && a_4b_2 && a_4b_3 \\ \hline && c_0 && c_1 && c_2 && c_3 && c_4 && c_5 && c_6 && c_7 \end{align*}$

上面是对某一点上卷积的理解。对整个域的卷积，则可以看成是将卷积核（除了开头几个外）不停向右移动，每移动一格就将重叠部分拿出来求内积。

这时我们可以把图像处理和卷积联系起来了。图像处理是，将一副“源图像”（Source），通过一些算法，变成一副“目标图像”（Destination）。当我们进行平滑处理的时候，用到一个叫做滤波器（filter）的东西，也叫做滤镜。想想我们现实生活中放大镜是怎么用的：拿着放大镜，从报纸的左上角开始，一直扫啊扫到右下角，扫的过程中一直望着放大镜和报纸的重叠区域（其实就是望着放大镜，因为它比报纸小多了），这样你就浏览完了一张放大过的报纸。平滑滤镜也是同样的使用方法，从源图的左上角开始扫到右下角，扫的过程中一直取出重叠部分进行内积计算，然后将结果存放到目标图像中 —— 显然这个操作跟卷积是一致的，只不过定义在二维空间内。

为了方便量化表示，我们把图像抽象成定义在 $R \cap [0, 1]$ 数环内的二维矩阵，其意义是灰度值，颜色信息我们暂且忽略。卷积核，也就是滤波器同样也是定义在 $R \cap [0, 1]$ 内的二维矩阵。这样，二维的卷积我们这样定义它的离散形式：

$\text{Dest}[i, j] = \sum_{y=-\infty}^\infty \sum_{x=-\infty}^\infty \text{Src}[y,x] \cdot \text{Ker}[i - y, j - x]$

我们的卷积核大小并不是无限的，它一个半径r，这样它的大小就是2r+1。规定了这个r使得，当|x| > r 或 |y| > r，都有Ker[y, x] = 0。规定过大小之后，由 |i-y| < r; |j-x| < r得到 i-r < y < i+r; j-r < x < j+r。同时我们规定Dest和Src的大小是 $m \times n$ 。于是我们得到了滤波器的算法：

$\text{Dest}[i, j] = \sum_{y=\max\{0,i-r\}}^{\min\{i+r,n\}} \left( \sum_{x=\max\{0,j-r\}}^{\min\{j+r,m\}} \text{Src}[y, x] \cdot \text{Ker}[i - y, j - x] \right)$

高斯滤波器

二维的高斯函数（俗称避孕套函数）

高斯滤波器是最常用的平滑滤波器之一，在Photoshop里面它被用作高斯模糊滤镜。高斯滤波器的定义很经典，就是简单地把正态分布离散开来。二维形式只是单纯把x替代成(x² + y²)，然后修改系数令实数域上的积分为1：

$\begin{align*} \text{Ker}_1[x] &= \frac 1{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/{\sigma^2}} \\ \text{Ker}_2[i, j] &= \frac 1{2\sigma^2\pi} e^{-(i^2+j^2)/{\sigma^2}} \end{align*}$

也许你已经发现了一个这样的规律，这一规律，这在更高维上仍然是满足的，也就是在连续空间里同样满足。这将成为我们优化算法的关键。将这个规律代回到二维离散卷积的公式里，因为y在第二个连加中相当于常数系数可以提出来，我们发现：

$\begin{align*} \text{Ker}_2[i, j] &= \text{Ker}_1[i] \cdot \text{Ker}_1[j] \\ \text{Dest}[i, j] &= \sum_{y=-\infty}^\infty \sum_{x=-\infty}^\infty \text{Src}[y,x] \cdot \text{Ker}_2[i - y, j - x] \\ &= \sum_{y=-\infty}^\infty \sum_{x=-\infty}^\infty \text{Src}[y,x] \cdot \text{Ker}_1[i-y] \cdot \text{Ker}_1[j-x]\\ &= \sum_{y=-\infty}^\infty \left( \sum_{x=-\infty}^\infty \text{Src}[y,x] \cdot \text{Ker}_1[j-x]\right) \text{Ker}_1[i-y] \end{align*}$

如果x连加所表示是卷积是从右上角开始按照文字书写顺序从左到右，然后从上到下的顺序进行一维卷积，那么y连加表示的卷积就是先从上到下，再从左到有的顺序卷积。在OpenCV提供的数据结构的基础上，不用imgproc提供的算法，我写了一个示例：

1 // cflags: -lopencv_highgui -lopencv_core
2
3 #include <iostream>
4 #include <cmath>
5 #include <opencv2/highgui/highgui.hpp>
6
7 using namespace cv;
8 using namespace std;
9
10 const char* title = "gaussian-filter";
11
12 Mat kernelMatrix(int radius, double sigma)
13 {
14         int d = radius * 2 + 1;
15         Mat kernel(2, d, CV_64F);
16
17         double coef = 0;
18         for(int i = 0; i <= radius; i++) {
19                 // f(x) = 1/(sigma * sqrt(2 pi)) * e ^ -x^2/(2 s^2)
20                 int dx = i - radius;
21                 double dx_2 = dx * dx;
22                 double w = pow(M_E, - dx_2 / (2 * sigma * sigma));
23
24                 coef += w;
25                 kernel.at<double>(0, i) = w;
26                 kernel.at<double>(0, d - i - 1) = w;
27                 // when you used values from i to j (j>i), the sum of them is:
28                 // kernel[1, j] - (i ? kernel[1, i-1] : 0)
29                 kernel.at<double>(1, i) = coef;
30         }
31
32         for(int i = radius + 1; i < d; i++) {
33                 coef += kernel.at<double>(0, i);
34                 kernel.at<double>(1, i) = coef;
35         }
36
37         return kernel;
38 }
39
40
41 void convolution(const Mat& img, const Mat& kernel, Mat& output, bool t = true)
42 {
43         for(int y = 0, x = 0; y < img.rows; x = (++x<img.cols)? x : (y++, 0)) {
44                 Vec3d r(0, 0, 0);
45
46                 int ideal = x - int(kernel.cols / 2),
47                     ran_beg = max(ideal, 0) - ideal,
48                     ran_end = min(ideal + kernel.cols, img.cols) - ideal;
49
50                 for(int i = ran_beg; i < ran_end; i++) {
51                         double weight = kernel.at<double>(0, i);
52                         Vec3b pixel = img.at<Vec3b>(y, ideal + i);
53
54                         r[0] += pixel[0] * weight;
55                         r[1] += pixel[1] * weight;
56                         r[2] += pixel[2] * weight;
57                 }
58
59                 double coef = kernel.at<double>(1, ran_end - 1);
60                 if(ran_beg) coef -= kernel.at<double>(1, ran_beg - 1);
61
62                 output.at<Vec3b>(t?x:y, t?y:x) = Vec3b(
63                         saturate_cast<uchar>(r[0]/coef),
64                         saturate_cast<uchar>(r[1]/coef),
65                         saturate_cast<uchar>(r[2]/coef));
66         }
67 }
68
69
70 int main()
71 {
72         namedWindow(title, WINDOW_AUTOSIZE);
73
74         const int r = 10;
75
76         Mat img = imread("ai-sample.jpg"),
77             kernel = kernelMatrix(r, (r - 1) * 0.3 + 0.8);
78
79         Mat product_v = Mat(img.cols, img.rows, img.type());
80         Mat product_h = Mat(img.rows, img.cols, img.type());
81
82         convolution(img, kernel, product_v);
83         convolution(product_v, kernel, product_h);
84
85         imshow(title, product_h);
86         for(; waitKey(0) > 0;);
87
88         destroyWindow(title);
89 }

渲染效果图

posted on 2015-08-12 00:35 Shihira 阅读(3196) 评论(0) 编辑收藏引用所属分类: 图形编程

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