3D空间中的旋转可用旋转矩阵、欧拉角或四元数等形式来表示，他们不过都是数学工具，其中在绕任意向量的旋转方面，旋转矩阵和四元数两种工具用的较多，欧拉角由于存在万向节死锁等问题，使用存在限制。
（本文假设坐标系为左手坐标系中，旋转方向为顺时针。）
所求问题：
给定任意单位轴q(向量),求向量p(x,y,z)(或点p)饶q旋转theta角度的变换后的新向量p'(或点p')：
1.用四元数工具：
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结论：构造四元数变换p'= q*p*q-1，（p,q是由向量p,q扩展成的四元数）。那么，p'转换至对应的向量(或点)就是变换后的新向量p'(或点p')。
其中，p',q,p,q-1均为四元数。q由向量q扩展,为q=(cos(theta/2),sin(theta/2)*q)，p由向量p扩展,为p=(0,x,y,z),q-1为q的逆，因为q为单位四元数，所以q-1=q*=(cos(theta/2),-sin(theta/2)*q)。
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（这个结论的证明过程可以在网上找到。这里略去。）
下面看其时间复杂度：
首先有个三角函数的计算时间，这个可以预先计算好，花费时间不计。考虑n个四元数相乘需进行4*4*(n-1)=16*(n-1)次乘法，15*(n-1)次加法，因为加法化费时间较少，这里仅考虑乘法。这里涉及到三个四元数的乘法，设一次乘法的时间为T,故花费16*2=32T
2.旋转矩阵工具：
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结论：构造旋转矩阵变换Trot,则变换后的新向量p'(或点p')为p'= p*Trot
其中，p'（x',y',z',1）,p(x,y,z,1)为向量p'，p的4D齐次坐标表示，Trot =
|t*x*x + c, t*x*y + s*z, t*x*z - s*y, 0|
|t*x*y - s*z, t*y*y + c, t*y*z + s*x, 0|
|t*x*z + s*y, t*y*z - s*x, t*z*z + c, 0|
|0, 0, 0, 1|
c=cos(theta), s=sin(theta),t=1-c.
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（这个结论的证明过程可以在网上找到。这里略去。）
下面看其时间复杂度：
三角函数的计算时间不计。矩阵本身的元素乘法主要是计算t*x和s*x之类，需进行12+3=15次乘法。两个矩阵相乘的需进行n*n*n次乘法,这里n=4，所以花费4*4*4=64次乘法时间,但这里有个注意的地方就是旋转矩阵的第4维无须考虑，即可简化为3X3的矩阵。故花费3*3*3=27次乘法时间，总共的时间为15+27=42次乘法时间。cost=42T.
比较来看，还是使用四元数的效率要高出一些，这在要变换的点的数目越大时，体现的越明显。实际上，有很多3D引擎为了利用四元数运算的高效率性，一般先将矩阵转换成四元数后进行运算再转回为矩阵后，再传给DirectX或OpenGL库函数。
关于四元数和矩阵在向量（方向）之间的进行插值的效率比较，见下篇：
探讨：物体绕任意向量的旋转-四元数法VS.旋转矩阵法的性能比较