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指定向量v绕已知向量n旋转theta角度的变换矩阵

在3D游戏开发中，该变换时常发生。下面记录下，以备随时查询用。

说明：
1) 已经向量v就不用说，可以是3维空间中的任意向量。(不论位置在哪都没关系，因为向量是与位置无关的)
2) 绕已知向量n旋转。此处的n向量，最好要规范化成单位向量。为什么需要此要求呢？其实很简单，如果不规范化成单位向量，那么变换后的结果向量(假如称为v')，其模就不会等于原向量v的模。因此就会出错。(当然，如果非要用非规范化的单位向量参与计算的话，我们也是可以通过将v'进行一些处理，而得到最终想要的向量。)

下面，确认一下，变换矩阵以及变化公式所需的参数信息：
v(vx     ，      vy     ，  vz)                                : 为已经向量
n(nx    ，    ny     ，  nz)                                : 为v向量绕n旋转的“基向量”
R(n     ，    angle)                                         : 为旋转所需的变换矩阵。(注释：angle就是角度，本来可以直接用那些希腊字母，结果发现用了，在此，我就输入不了中文与英文字符了。蛋疼)

v'(vx'   ，    vy'     ， vz')                                : 为变换后最终要得到的结果向量

根据3D变换基础知识，可得如下公式：
v' = vR(n, angle)
其中，v向量已知。R(n, angle)根据推导，可得如下式子：
                     [ p' ]    [ nx2(1 - cos(angle)) + cos(angle)                            nxny(1 - cos(angle)) + nzsin(angle)                       nxnz(1 - cos(angle)) - nysin(angle) ]
R(n, angle) =  | q' | = | nxny(1 - cos(angle)) - nzsin(angle)                        ny2(1 - cos(angle)) + cos(angle)                           nynz(1 - cos(angle)) + nxsin(angle) |
                     [ r' ]     [ nxnz(1 - cos(angle)) + nysin(angle)                       nynz(1 - cos(angle)) - nxsin(angle)                        nz2(1 - cos(angle)) + cos(angle)    ]

所以，可得最终的v'向量。具体如下：

v' = vR = (vx, vy, vz)R;

vx'   = vx * (nx2(1 - cos(angle)) + cos(angle));
vx' += vy * (nxny(1 - cos(angle)) - nzsin(angle));
vx' += vz * (nxnz(1 - cos(angle)) + nysin(angle));

vy'   = vx * (nxny(1 - cos(angle)) + nzsin(angle));
vy' += vy * (ny2(1 - cos(angle)) + cos(angle));
vy' += vz * (nynz(1 - cos(angle)) - nxsin(angle));

vz'   = vx * (nxnz(1 - cos(angle)) - nysin(angle));
vz' += vy * (nynz(1 - cos(angle)) + nxsin(angle));
vz' += vz * (nz2(1 - cos(angle)) + cos(angle));

-----------------------------------------------------------------
有了上面的知识，现在就可以很容易理解。如下一段旋转摄像机方向的代码了：（注：代码出自徐明亮作者所著《opengl游戏编程》一书中的内容）

/**  旋转摄像机方向  */
void Camera::rotateView(float angle, float x, float y, float z)
{
    Vector3 newView;

    /** 计算方向向量 */
    Vector3 view = m_View - m_Position;        

    /** 计算 sin 和cos值 */
    float cosTheta = (float)cos(angle);
    float sinTheta = (float)sin(angle);

    /** 计算旋转向量的x值 */
    newView.x  = (cosTheta + (1 - cosTheta) * x * x)        * view.x;
    newView.x += ((1 - cosTheta) * x * y - z * sinTheta)    * view.y;
    newView.x += ((1 - cosTheta) * x * z + y * sinTheta)    * view.z;

    /** 计算旋转向量的y值 */
    newView.y  = ((1 - cosTheta) * x * y + z * sinTheta)    * view.x;
    newView.y += (cosTheta + (1 - cosTheta) * y * y)        * view.y;
    newView.y += ((1 - cosTheta) * y * z - x * sinTheta)    * view.z;

    /** 计算旋转向量的z值 */
    newView.z  = ((1 - cosTheta) * x * z - y * sinTheta)    * view.x;
    newView.z += ((1 - cosTheta) * y * z + x * sinTheta)    * view.y;
    newView.z += (cosTheta + (1 - cosTheta) * z * z)        * view.z;

    /** 更新摄像机的方向 */
    m_View = m_Position + newView;
}



posted on 2012-06-12 11:29 Jacc.Kim 阅读(1710) 评论(0)  编辑 收藏 引用 所属分类: VC / C++

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