对数学的再认识
邱崇光
不少同学对数学总这有一点畏惧感，对数学好的人有一种敬佩感。自己对数学总有一点信心不足，拿到一个新课本，一
翻，十分庆幸，好在数学公式不多，如果拿到一本书，中间数学推导公式多，就十分沮丧，甚至想回避。
大家都不是搞数学专业的，为什么非要讲一讲对数学的再认识、反复强调要学好数学？如何提高数学素养呢？我想，作为一个现代
大学生，数学是回避不了的。华罗庚在五十年代就说过：“宇宙之大、粒子之微、光箭之速、生物之迷、日用之繁，无处不用数学”。到了今天这个信息时代，可以
说每一项高新技术的背后都有着极其抽象的数学，高新技术本质上就是数学技术。我们想有所作为，要想取得突出的成就，必要的数学知识，较好的数学素养，较高
的数学思维是必须的，请注意我这里用了三个不同的定语，要求是逐步升高的。而且你们已不再是中学生，不是爸爸妈妈要送你读书了，你们已进入人生悟性期，自
觉的理解意识正在升起，有的同学甚至对科研、创造、创新已跃跃欲试了，这很好。从课堂和书本里学来的只能是知识，是外来信息，人们最终需要开发和建立的是
自己的意识和悟性，当然知识也可以促进意识和悟性的迅速提高。在这个人生的春天季节里，我来和你们一起对数学整体性地温习一次，鸟瞰一次，相信对你们是大
有好处的。
一、 从数学与其它学科的关系来看数学
就从数学的外部来论说这个问题。
1、
数学是一种语言，是一种科学的共同语言，若没有数学语言，宇宙就是不可描述的，因而也就是永远是无法理解的。任何一门科学只有使用了数学，才成其为一门科
学，否则就是不完善与不成熟的。社会在进步，它的数学化程度也正在不断提高，数学语言已成为人类社会中交流和贮存信息的重要手段，宇宙和人类社会就是用数
学语言写成的一本大书。
2、
培根（Ｂａｃｏｎ）说：“数学是打开科学大门的钥匙”。忽视数学必将伤害所有的知识，因为忽视数学的人是无法了解任何其他科学乃至世界上任何其他事物的。
几千年来，凡是有意义的科学理论与实践成就，无一例外地借助于数学的力量。例如，没有微积分就谈不上力学和现代科学技术，没有麦克斯威尔方程就没有电波理
论，伦琴因发现X射线于1901成为诺贝尔的第一位获奖人，记者问他需要什么时，他回答：“第一是数学，第二是数学，第三还是数学。”
3、
数学是一种工具，一种思维的工具。自然哲学认为：任何事物都是量和质的统一体，数学就是研究量的科学，它不断地发现、总结和积累了很多人类对量的方面的规
律，这些都是人们认识世界的有力工具。这里举两个例子：一个是自然科学的，一个是社会科学的。我们企图找到一个不经手术就可以准确确定人体内的器官位置、
密度和三维形状的方法，可惜借助X射线只能绘出二维信息图。这个问题难倒了工程师很多年，后来遇到数学家的工作，即Radon变换，考尔麦克把X射线从许
多不同角度照射人体，再运用计算机进行数学变换，导致CT数据透视仪的诞生，获得了1979年的诺贝尔医学奖。现在这一方法进一步推广到核磁共振领域，使
图像分辨率更高。从本质上说，这两项技术只不过是，先大量测量一维的物理量，再用数学技巧来重构三维图像而已。
另一个例子：现代经济学家使
数学进入了经济学领域，构建了平衡模型，可以预言自由市场的经济行为，这方面的工作使阿洛（Arrow）获得了诺贝尔经济学奖，他的哈佛大学的同事看了这
篇得奖论文说，这些应用在数学中是很基本的，很多哈佛大学一年级学生就可以完成。可见掌握数学工具后，在其它领域中进行应用，并不是一件困难的事，而且有
时甚至是一个很大的成就。
4、
数学是一门艺术，一门创造性艺术。美是艺术的一种追求，美也是数学中一种公认的评价标准。数学的美体现在和谐性、对称性、简洁性，这三性上。数学家不断地
追求美好的新概念、新方法、新结论，因此数学是创造性艺术。人们掌握了数学，可以陶冶人的美感，培养理性的审美能力，一个人数学造诣越深，越是拥有一种直
觉力，这种直觉力实际就是理性的洞察力、由美感驱动的选择力，最终成为创造美好新世界的驱动力。
这里突出地谈一谈简洁性。
A、数学问题提得简洁。这是因为数学突出了本质的因素，必然是简洁的。例如尺规作图三分角问题。
B、数学语言是精炼的。例如欧拉公式：ｅix
=ｃｏｓｘ＋ｉｓｉｎｘ．把实数域中看不出有任何联系的指数函数和三角函数在复数域中巧妙地联系在一起。
其特例：ｅｉπ＋１＝０把0、1、ｉ、e、π五个重要常数简单而巧妙的结合在一
起，太神奇了。
又如，爱因斯坦把茫茫宇宙中的质能关系，用Ｅ＝ＭＣ２
简单地表达出来，简单得令人拍案叫绝。
C、数学概念是简洁的。数学概念的内涵历经沧桑，千锤百炼，每一次变化都使概念更加清晰和更具一般性。例如函数概念：1673年，莱布尼兹定义：函数
就象曲线上的点的坐标那样随点的变化而变动。1821年，柯西定义：对于X的每个值，如果Y有完全确定的值与之对应，则Y叫做X的函数。近代定义：设有
A、B是非空的集合，Ｆ是A到B的一个对应法则，则A到B的Ｆ映射：A→B称为A到B上的函数。一步一步更简洁、更具一般性。
D、数学证明是简洁的。数学的目的就是尽可能用简单而基本的词汇尽可能地解释世界。因此，如果我们积累的经验要一代一代传下去的话，就必须不断地努力
把它们加以简化和统一。
二、 从数学自身的研究对象来看数学
就是从数学内部来看数学。
恩格斯说：数学是现实世界中的空间形式与数量关系。数学就是研究数量、形状和他们之间关系的科学，这是数学的三大领域。当前数学还在发展，目前已经发
展成为包括一百多个分枝的庞大系统。数学已经不是原来人们头脑中仅仅是数和形，仅仅是陈景润的概念了。随着计算机的发明和技术迅速提高，数学学科也进入了
新的黄金时代。数学包括三个方面，模式、结构和模拟现实世界。它不光是理论，也是能力，是文化，是素质。
１、 数学发生图
数学可分为五大学科：纯粹（基础）数学、应用数学、计算数学、运筹与控制、概率论与数理统计。
应用数学则以以上数学为综合理论基础，可分为：价值数学、运筹学、数理统计学、系统科学、决策论等。目前又发展出混沌、小波变换、分形几何等。
２、 算术
人类逐步有了数的概念，由自然数开始。由于人有十个手指，所以多数民族建立了十进位制的自然数表示方法。二十个一组的太多太大，不能一目了然，还要用
上脚趾，五个一组又太少，使组数太多，十个一组是比较会让人喜爱的折衷方法。有古巴比仑记数法、希腊记数法、罗马记数法、中国记数法，发展进步了5000
年后，印度人第一次发明了零，零加自然数称为为整数，传入伊斯兰世界形成目前通用的阿拉伯数字。计算机的出现又需要二进位制，就是近几十年的事了。
算术运算起步只需要有加法的概念，乘是多次加的简化运算，减是加的逆运算，除是乘的逆运算，这就是四则运算。除法很快导致了分数的出现，以十、百等为分母
的除法，简化表达就是小数和循环小数。不是拥有钱而是欠人的钱如何表示，这就出现了负数，以上这些数放在一起，就是有理数，可以表示在一个数轴上。
人们曾经很长时间以为数轴上的数都是有理数，后来有人发现，正方形的边是1，它的对角线长度就无法用有理数表示，用园规在数轴上找到那个对应点就是无理数
的点，这是第一次数学危机。1761年德国物理学家和数学家兰伯卢格严格证明了π也是一个无理数，这样把无理数包入之后，有理数与无理数统称为实数，数轴
也称之为实数轴。后来人们发现，如果在实数轴上随机的抽取，得到有理数的概率几乎是零，得到无理数的概率几乎是１，无理数比有理数多得多。为什么会如此，
因为我们生活的这个客观世界，本来就是无理的多过有理的。
为了解决负数的开平方是什么，16世纪出了虚数ｉ，虚轴与实轴垂直交叉形成一个复平面，数也发展成为由虚部和实部组成的复数。数的概念会不会继续发展，我
们试目以待。
3、代数
对实数的运算进入代数学阶段，有“加、减、乘、除、乘方、开方、指数、对数”八则，用符号代表数，列出方程，求解方程成了比算术更有力的武器。这个时期称
为初等数学，从５世纪一直到17世纪，大约持续了一千多年。初等数学是常数的数学。对一组数群体性质的研究就导致线性代数。
4、几何
以上是研究数的，在研究形方面也平行的发展着，古希腊的欧几里得用公理化的方法，构建了几何学是最辉煌的成就。二千多年前的平面几何成就已经与目前中
学几何教科书几乎一样了。他们还了解了众多曲线的性质，在计算复杂图形的面积时，接近了高等数学。还初步了解到三角函数的值。在几何学方面，后来进一步发
展出非欧几何，包括罗巴切夫几何、黎曼几何、图论和拓扑学等分支。
直到17世纪，笛卡尔的工作终于把平行发展的代数与几何联系起来，除建立了平面坐标系之外，还完善了目前通行的符号运算系统。
5、变量数学
变化着的量以及它们间的依赖关系，产生了变量与函数的概念，研究函数的领域叫数学分析，其主要内容是微积分，牛顿由物理力学推动了微积分的产生，莱布尼兹
从数学中求曲线多边形的面积出发推动了微积分的发现，两人的工作殊途同归，目前的微积分符号的记法，都是莱布尼兹最先采用的。他们都运用了极限的概念和无
穷小的分析方法。
有了微积分，一系列分支出现了，如级数理论、微分方程、偏微分方程、微分几何等等。级数是无穷项数列的求和问题，微分方程是另一类方程，它们的解不是数而
是函数，多元的情况下就出现了偏微分概念和偏微分方程。微分几何是关于曲线和曲面的一般理论，将实数分析的方法推广到复数域中就产生了复变函数论。
6、概率论和数理统计
前面涉及的数量，无论是常量还是变量都是确定的量，但自然界中存在大量的随机现象，其中存在很多不确定的、不可预测
的量、是具有偶然性的量，这就由赌博中产生了概率论及其统计学等相关分枝。
７、模糊数学
前面涉及的数量，无论是常量还是变量都是“准确”的量，但自然界中存在大量的不准确现象，人为地准确化只能使我们对客观世界的描述变得不准确。“乏晰
数学”Ｆｕｚｚｙ就是以这种思想观点和方法研究问题的数学。
三、什么是数学素养
数学素养属于认识论和方法论的综合性思维形式,它具有概念化、抽象化、模式化的认识特征。具有数学素养的人善于把数学中的概念结论和处理方法推广应用
于认识一切客观事物，具有这样的哲学高度和认识特征。具体说，一个具有“数学素养”的人在他的认识世界和改造世界的活动中，常常表现出以下特点：
１、 在讨论问题时，习惯于强调定义（界定概念），强调问题存在的条件；
２、 在观察问题时，习惯于抓住其中的（函数）关系，在微观（局部）认识基础上进一步做出多因素的全局性（全空间）考虑；
３、
在认识问题时，习惯于将已有的严格的数学概念如对偶、相关、随机、泛涵、非线性、周期性、混沌等等概念广义化，用于认识现实中的问题。比如可以看出价格是
商品的对偶，效益是公司的泛涵等等。
更通俗地说，数学素养就是数学家的一种职业习惯，“三句话不离本行”，我们希望把我们的专业搞得更好，更精密更严
格，有些这种优秀的职业习惯当然是好事。人的所有修养，有意识的修养比无意识地、仅凭自然增长地修养来得快得多。只要有这样强烈的要求、愿望和意识，坚持
下去人人都可以形成较高的数学素养。
一位名家说：真正的数学家应能把他的东西讲给任何人听得懂。因为任何数学形式再复杂，总有它简单的思想实质，因而
掌握这种数学思想总是容易的，这一点在大家学习数学时一定要明确。在现代科学中数学能力、数学思维十分重要，这种能力不是表现在死记硬背，不光表现在计算
能力，在计算机时代特别表现在建模能力，建模能力的基础就是数学素养。思想比公式更重要，建模比计算更重要。学数学，用数学，对它始终有兴趣，是培养数学
素养的好条件、好方法、好场所。希望同学们消除对数学的畏惧感，培养对数学的兴趣，增进学好数学的信心，了解更多的现代数学的概念和思想、提高数学悟性和
数学意识、培养数学思维的习惯。
请注意，我们往往只注意到数学的思想方法中严格推理的一面，它属于“演绎”的范畴，其实，数学修养中也有对偶的一
面――“归纳”，称之为“合情推理”或“常识推理”，它要求我们培养和运用灵活、猜想和活跃的思维习惯。
下面举一个例子，看看数学素养在其中如何发挥作用。１８世纪德国哥德堡有一条河，河中有两个岛，两岸于两岛间架有
七座桥。问题是：一个人怎样走才可以不重复的走遍七座桥而回到原地。这个问题好像与数学关系不大，它是几何问题，但不是关于长度、角度的欧氏几何。很多人
都失败了，欧拉以敏锐的数学家眼光，猜想这个问题可能无解（这是合情推理）。然后他以高度的抽象能力，把问题变成了一个“一笔画”问题，建模如下：能否从
一个点出发不离开纸面地画出所有的连线，使笔仍回到原来出发的地方。
以下开始演绎分析，一笔画的要求使得图形有这样的特征：除起点与终点外，一笔画问题中线路的交岔点处，有一条线进
就一定有一条线出，故在交岔点处汇合的曲线必为偶数条。七桥问题中，有四个交叉点处都交汇了奇数条曲线，故此问题不可解。欧拉还进一步证明了：一个连通的
无向图，具有通过这个图中的每一条边一次且仅一次的路，当且仅当它的奇数次顶点的个数为０或为２。这是他为数学的一个新分枝――图论所作的奠基性工作，后
人称此为欧拉定理。
这个例子是使用数学思维解决了现实问题，另一个例子“正电子”的发现正好相反，是先有数学解，预言了现实问题。1928年英国物理学家狄拉克在研究量
子力学时得到了一个描述电子运动的Dirac方程，由于开平方，得到了正负两个完全相反的解，也就是说，这个方程除了可以描述已知的带负电的电子的运动，
还描述了除了电荷是正的以外，其他结构、性质与电子一样的反粒子的运动。1932年物理学家安德森在宇宙射线中得到了正电子，并于1936年获得诺贝尔物
理学奖。我国物理学家赵忠尧1930年正在加州理工学院读研究生，他的试验结果一出来，安德森在他的办公室隔壁办公，他受启发，立刻意识到试验结果表明：
一种尚未认知的物质出现了，进一步做工作获得成功，赵忠尧与诺贝尔奖擦肩而过。
四、如何提高数学修养
要讲这个题目确实很困难，要提高数学素养只有自己去探索、去总结，世界上没有一种万能的学习方法对所有人都适用，
可是回避这个问题，又十分遗憾。我们还是用一个折衷的办法：介绍数学中一个人和一件事，相信青年朋友们能从其中得到许多力量和启迪。
１、读读欧拉
1707年4月15日，欧拉Euler ( 1707-1783)
出生于瑞士，在大学时受到著名教授伯努利及其家族的影响，阅读了不少数学家的原著，17岁获得硕士学位，18岁开始发表数学论文，26岁成为数学教授、科
学院院士。
他一生论著数量巨大，涉猎面广，开创性成果多，发表论文和著作500多篇（部），加上生前未及出版和发表的手稿共
886篇（部）之多。在数学的各领域，及物理学、天文学工程学中留下了举不胜数的数学公式、数学定理。如欧拉常数、欧拉恒等式、欧拉级数、欧拉积分、欧拉
微分方程、欧拉准则、欧拉变换、欧拉坐标、欧拉求积公式、欧拉方程、欧拉刚体运动方程，欧拉流体力学方程等。
欧拉有坚忍的毅力和勤奋刻苦的拼搏精神。他28岁时，为计算彗星的轨迹，奋战三天三夜，因过度劳累，患了眼疾，使
右眼失明，又不顾眼病回到严冷的俄国彼得堡工作，左眼也很快视力减退，他深知自己将会完全失明，没有消沉和倒下，他抓紧时间在黑板上疾书他发现的公式，或
口述其内容，让人笔录。双目失明后，他的寝室失火，烧毁了所有的专著和手搞，后来妻子又病故了，他在所有这些不幸面前不仅没有退缩，而是以非凡的毅力继续
拼搏，他以罕见的记忆力和心算能力，继续研究，让人笔录，直到生命的最后一刻。在双目失明的17年中，他口授论文达400篇和几本书，包括经典名著《积分
学原理》，《代数基础》。
欧拉学识渊博品德高尚，非常注重培养与选拔人才，当时19岁的拉格朗日把自己对“等周问题”的研究成果寄给他，他
发现其解决问题的方法解题与自己的不同，立即热情的给予赞扬，并决定暂不发表自己的成果，使年轻的拉格朗日先后两次荣获巴黎科学院的科学奖，后来他又推荐
30岁的拉格朗日代替自己任科学院物理数学所所长，他的品德赢得了全世界的尊敬。他晚年的时候，全世界的大数学家都尊称他为“我的老师”。法国著名的数学
家、天文学家拉普拉斯曾多次深情地说：“ 读读欧拉，他是大家的老师”，他不愧为“数学家之英雄”，他这种精神境界至今仍是年轻人学习的榜样。
2、关于费马（Fermat，1601－1665）大定理的证明
法国业余数学家费马猜想：Xｎ ＋ Yｎ ＝Zｎ
，对于大于2的整数，不存在x，y，z的非零整数解。他在一本算术书的页边空白处写着“我对此有一种奇妙的证明，只是此处空白太小写不下”。后人称此为费
马大定理，人们曾查遍他的手稿和用过的书籍，始终未能得到这个证明。后来的事实证明，这是难于上青天的事。莱布尼兹、高斯、欧拉、柯西
等大数学家都失败了，仅在1909年到1911年这三年间就有一千多篇论文，提出各种证明都因为不严格而否定，几百年来有人废寝忘食，有人神魂颠倒，甚至
于有人失败后自杀了。
韦尔斯（
Wｉｌeｓ）1953年生于英国剑桥，1977年在剑桥大学获博士学位，1982年成为普林斯顿大学数学教授，他在10岁时就被费马大定理迷住了，立志要
证明它。1986年他开始下决心要征服这个难题。当教授必须每年发表论文，否则影响职务和前途，这个难题不知道何时才能征服，是否能成为论文都很难说，他
想了个两全之策，他将其它项目中的成果写成几篇论文，留着以后慢慢发表。他深知必须运用最近的数学成果和创造出新的方法才能解决这个问题。为了避免干扰，
他闭门谢客，只有妻子知道此事，七年后，他完成了证明的论文。1993年6月21日他应邀在剑桥大学的国际数学会议上宣读论文。当时座无虚席，他的论文朗
读了3天，黑板上写了擦，擦了又写，几万名听众急于想听到结果。到6月23日快结束时，他最终在黑板上写出了费马大定理，然后转身过来，谦逊地说，我想就
到此为止了，大厅响起热烈的掌声，消息立刻传遍了世界。韦尔斯被“人物”（people）杂志列为与克林顿、黛安娜王妃齐名的本年最有魅力人物。
可惜高兴得太早，不久后他自己给数学界同行发了一个电子邮件，信中说到他发现证明中有漏洞，这可不是小事，如果仍
旧解决不了，一环扣一环的证明将全部瓦解，七载心血将付诸东流，将不成熟的论文公开发表也是十分难堪的事情。但是他不灰心，在最艰难的日子里，他的好友萨
尔纳克（Ｓａｒｎａｋ）不仅鼓励他，并提议他找一位值得依靠的年轻帮手，经过考虑，他邀请他在英国的学生――剑桥大学讲师泰勒（Ｔａｙｌｏｒ）一起工作，
又经过一年的功夫终于把漏洞部分补上了。
1994年8月国际数学大会在苏黎世又召开大会，他做了最后的报告，人们热烈地鼓掌，肯定了他们部分证明了预备定理的成绩和数论方面的其它成果。又过了2
个月，在1994年9月19日的早晨，他与泰勒讨论问题时，突然有了新的想法，又经过一个月的努力终于取得了完全的证明。1994年10月25日，他们向
数学界的朋友发了另一个电子邮件， 由两篇论文组成，第一篇是“模椭圆曲线与费马最后定理”，作者韦尔斯 ，第二篇是“某些Ｈｏｏｋｅ代数环论的性质”
作者是泰勒和韦尔斯 。第一篇长文证明了费马定理，其中关键一步依赖于第二篇短文。
这一次人们十分谨慎，直到1998年（四年以后）在柏林举行的国际数学大会上，第一次向45岁上的数学家颁发了一个费尔兹（Fields）特别奖，正
式承认他们卓越贡献。证明过程中开辟了好多数学的新领域与使用了很多新的方法，证明了很多新的猜想与得到许多新的定理，为数学的发展，特别是在数论的重要
分支——代数数论和环论方面做出了重要贡献，上述前仆后继、艰苦卓绝的证明的现实意义也在于此。
讲到这里我觉得自己的任务差不多完成了，让我们再一次回到这次讲话的初衷：习惯优秀才是真正的优秀，数学素养才是高层次的素养。希望大家能够在今后的
学习中，重视数学课的学习，更要重视数学思维的培养，努力提高自己的数学素养。
邱崇光先生，湖北武汉人，教授。