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题意:给定n(n<=5)个必选点,和m(m<=1000)个辅助点,每个点有权值,以及带权无向边若干,求一棵代价最小的生成子树,使得n个必选点连通并且总权值最小。
分析:这题比较巧妙,首先因为又有边权又有点权不好处理,所以我们先建一个虚拟点0,
把所有点与0点连边,边权为该点的点权,那么就转化成了有n+m+1个点,
求出这些点中使0-n这n+1个点连通的最小生成树。这个定义其实就是所谓的斯坦纳树。
Steiner Tree是NP的,但是当必选点较少时,可以通过状态压缩DP来解,
具体的DP状态是dp[x][1<<m] 代表以x为根的树并且包含state里的点的最小权值。
那么求一棵树就可以枚举连接点,以及两个子树的覆盖状态,通过一个很漂亮的转移方程来进行转移:
dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[i][j^k]),其中k是j的一个子集,而这个子集又可以通过位运算枚举子集来实现:
for (int sub = state;sub != 0;sub = (sub-1) & state)
*/
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
const int MAXN = 1010;
const int INF = 1000000000;
struct Edge
{
int u,v,w;
Edge *next;
};
//dp[x][1<<m] 代表以x为根的树并且包含state里的点的最小费用
int dp[MAXN][1<<6];
int dist[MAXN][MAXN];
int chg[MAXN];
Edge edges[MAXN*20] , *E[MAXN] , *pE;
bool inQ[MAXN];
void init(int n)
{
pE = edges;
for(int i=0;i<=n;i++)E[i] = NULL;
}
inline void addE(int u,int v,int w)
{
pE->v = v;
pE->w = w;
pE->next = E[u];
E[u] = pE++;
}
void spfa(int now,int n)
{
fill(inQ,inQ+n+1,false);
fill(dist[now],dist[now]+n+1,INF);
queue<int>Q;
Q.push(now);
inQ[now] = 1;
dist[now][now] = 0;
while(!Q.empty())
{
int u = Q.front();
Q.pop();
inQ[u] = 0;
for( Edge *it = E[u]; it ;it = it->next)
{
int v = it->v,w=it->w;
if(dist[now][v] > dist[now][u] + w)
{
dist[now][v] = dist[now][u] + w;
if(!inQ[v])
{
inQ[v] = true;
Q.push(v);
}
}
}
}
}
int steiner(int m,int n,int chg[])//[0,m] [0,n] 0~n共n个点里面选出p中的m个点
{
for(int i=0;i<=n;i++)
{
spfa(i,n);
}
for(int i=0;i<=m;i++)
for(int j=0;j<=n;j++)
dp[j][1<<i] = dist[chg[i]][j];
int limit = 1<<(m+1);
for(int state = 1; state < limit; state++)
{
if((state - 1) & state)//二进制不止一个1
{
for(int j = 0; j<=n; j++)
{
dp[j][state] = INF;
for(int _state = (state-1) & state ; _state ; _state = (_state-1) & state) //枚举子集
dp[j][state] = min(dp[j][state] , dp[j][_state] + dp[j][_state ^ state]);
}
for(int j=0;j<=n;j++)
for(int k=0;k<=n;k++)
dp[j][state] = min(dp[j][state],dp[k][state] + dist[k][j]);
}
}
return dp[0][limit-1];
}
int main()
{
#ifdef ONLINE_JUDGE
#else
freopen("in","r",stdin);
#endif
int n,m,p;
while( ~scanf("%d%d%d",&n,&m,&p))
{
init(n+m);
for(int i=1,val;i<=n+m;i++)
{
scanf("%d",&val);
addE(i,0,val);
addE(0,i,val);
}
for(int i=0,u,v,w;i<p;i++)
{
scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
addE(u,v,w);
addE(v,u,w);
}
for(int i=0;i<=n+m;i++)chg[i] = i;
printf("%d\n",steiner(n,n+m,chg));
}
return 0;
}