原题：
城市规划
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描述
NanJing准备开发一片荒地，目前已经规划好了一些居民点，还要建设道路。由于经费问题，现在想在保持任意两点间的距离最短的前提下，用尽可能少的经费把这些点连接起来。需要注意的是并不是任意两个居民点间都能直接相连。现在给出两两居民点间的花费，当然了，花费和路径长度成正比~
输入
第一行是个N<=100，表示N个居民点。
下面是个N*N的矩阵，第i行第j列，表示i到j的花费，可能有负数，表示两地不相连。保证有解。
输出
输出一行为总花费。
样例输入
3
0 2 1
2 0 3
1 3 0
样例输出
3
提示
这里建设1到2 和1到3这两条路。
刚拿到这道题还以为是floyd，仔细看看才发现发现原来不是。
题目中说要保证每个顶点之间的距离最短，也就是说在某个源点到其他点的最短路径上的通路必须保留，其余的边可以滤去；
我的第一个想法是不断的调用DIJ把每个点到其他点的最短路求出来，不过这样有的边会被重复加。
后来又有了第二个想法，就是用一个二维矩阵做为标志，如果这条边（u,v)已经被访问过，那么map[u][v]置成1，这样便解决了重复添加的问题。
这样应该对了吧？我当时也是这样认为的，可惜结果不然。
如果两点间有两条最短路同时存在的情况，该怎么办呢？由于DIJ每一次循环都会找到一条最短路径，那么当用这个确定点去更新其他点的信息时，要使用dis[mark]+map[mark][i]<=di[i]而不是<,这样当出现两条或者两条以上的最短路路时会优先选择已经选择过的点，这样便解决了优先权的问题。
好了，经历的这三个步骤，代码终于AC.呵呵 （Wa了四次）
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAX 101
#define MAX_INT 999999999
int mymap[MAX][MAX];
int visit[MAX];
int dis[MAX];
int pre[MAX];
int record[MAX][MAX];
int n;
int Dij_plus(int s)
{
int result=0;
memset(visit,0,sizeof(visit));
memset(pre,0,sizeof(pre));
int i,j;
for(i=1;i<=n;i++)
{
dis[i]=mymap[s][i];
}
visit[s]=1;
int temp=MAX_INT;
int mark;
for(i=1;i<=n;i++)
pre[i]=-1;
for(i=1;i<=n;i++)
{
if(visit[i]!=1&&mymap[s][i]!=MAX_INT)
pre[i]=s;
}
for(j=1;j<=n-1;j++)
{
temp=MAX_INT;
for(i=1;i<=n;i++)
{
if(visit[i]!=1&&dis[i]<temp)
{
temp=dis[i];
mark=i;
}
}
visit[mark]=1;
if(record[pre[mark]][mark]==0)
{
record[pre[mark]][mark]=1;
record[mark][pre[mark]]=1;
result+=mymap[pre[mark]][mark];
}
for(i=1;i<=n;i++)
{
if(visit[i]!=1&&mymap[mark][i]+dis[mark]<=dis[i])
{
dis[i]=mymap[mark][i]+dis[mark];
pre[i]=mark;
}
}
}
return result;
}
int main ()
{
int i,j;
int result=0;
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<=n;j++)
{
int temp;
scanf("%d",&temp);
if(temp<0)
{
mymap[i][j]=MAX_INT;
mymap[j][i]=MAX_INT;
continue;
}
mymap[i][j]=temp;
mymap[j][i]=temp;
}
}
for(i=1;i<=n;i++)
{
result+=Dij_plus(i);
}
printf("%d\n",result);
system("pause");
return 0;
}
它是第一个既能用于数据加密也能用于数字签名的算法。它易于理解和操作，也很流行。算法的名字以发明者的名字命名：Ron Rivest, Adi Shamir 和Leonard Adleman。但RSA的安全性一直未能得到理论上的证明。它经历了各种攻击，至今未被完全攻破。
一、RSA算法 :
首先, 找出三个数, p, q, r,
其中 p, q 是两个相异的质数, r 是与 (p-1)(q-1) 互质的数......
p, q, r 这三个数便是 private key
接著, 找出 m, 使得 rm == 1 mod (p-1)(q-1).....
这个 m 一定存在, 因为 r 与 (p-1)(q-1) 互质, 用辗转相除法就可以得到了.....
再来, 计算 n = pq.......
m, n 这两个数便是 public key
编码过程是, 若资料为 a, 将其看成是一个大整数, 假设 a < n....
如果 a >= n 的话, 就将 a 表成 s 进位 (s <= n, 通常取 s = 2^t),
则每一位数均小於 n, 然後分段编码......
接下来, 计算 b == a^m mod n, (0 <= b < n),
b 就是编码後的资料......
解码的过程是, 计算 c == b^r mod pq (0 <= c < pq),
於是乎, 解码完毕...... 等会会证明 c 和 a 其实是相等的
如果第三者进行窃听时, 他会得到几个数: m, n(=pq), b......
他如果要解码的话, 必须想办法得到 r......
所以, 他必须先对 n 作质因数分解.........
要防止他分解, 最有效的方法是找两个非常的大质数 p, q,
使第三者作因数分解时发生困难.........
<定理>
若 p, q 是相异质数, rm == 1 mod (p-1)(q-1),
a 是任意一个正整数, b == a^m mod pq, c == b^r mod pq,
则 c == a mod pq
证明的过程, 会用到费马小定理, 叙述如下:
m 是任一质数, n 是任一整数, 则 n^m == n mod m
(换另一句话说, 如果 n 和 m 互质, 则 n^(m-1) == 1 mod m)
运用一些基本的群论的知识, 就可以很容易地证出费马小定理的........
<证明>
因为 rm == 1 mod (p-1)(q-1), 所以 rm = k(p-1)(q-1) + 1, 其中 k 是整数
因为在 modulo 中是 preserve 乘法的
(x == y mod z and u == v mod z => xu == yv mod z),
所以, c == b^r == (a^m)^r == a^(rm) == a^(k(p-1)(q-1)+1) mod pq
1. 如果 a 不是 p 的倍数, 也不是 q 的倍数时,
则 a^(p-1) == 1 mod p (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod p
a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
所以 p, q 均能整除 a^(k(p-1)(q-1)) - 1 => pq | a^(k(p-1)(q-1)) - 1
即 a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod pq
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod pq
2. 如果 a 是 p 的倍数, 但不是 q 的倍数时,
则 a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理)
=> a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod q
=> q | c - a
因 p | a
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod p
=> p | c - a
所以, pq | c - a => c == a mod pq
3. 如果 a 是 q 的倍数, 但不是 p 的倍数时, 证明同上
4. 如果 a 同时是 p 和 q 的倍数时,
则 pq | a
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod pq
=> pq | c - a
=> c == a mod pq
Q.E.D.
这个定理说明 a 经过编码为 b 再经过解码为 c 时, a == c mod n (n = pq)....
但我们在做编码解码时, 限制 0 <= a < n, 0 <= c < n,
所以这就是说 a 等於 c, 所以这个过程确实能做到编码解码的功能.....
二、RSA 的安全性
RSA的安全性依赖于大数分解，但是否等同于大数分解一直未能得到理论上的证明，因为没有证明破解 RSA就一定需要作大数分解。假设存在一种无须分解大数的算法，那它肯定可以修改成为大数分解算法。目前， RSA 的一些变种算法已被证明等价于大数分解。不管怎样，分解n是最显然的攻击方法。现在，人们已能分解多个十进制位的大素数。因此，模数n 必须选大一些，因具体适用情况而定。
三、RSA的速度
由于进行的都是大数计算，使得RSA最快的情况也比DES慢上倍，无论是软件还是硬件实现。速度一直是RSA的缺陷。一般来说只用于少量数据加密。
四、RSA的选择密文攻击
RSA在选择密文攻击面前很脆弱。一般攻击者是将某一信息作一下伪装( Blind)，让拥有私钥的实体签署。然后，经过计算就可得到它所想要的信息。实际上，攻击利用的都是同一个弱点，即存在这样一个事实：乘幂保留了输入的乘法结构：
( XM )^d = X^d *M^d mod n
前面已经提到，这个固有的问题来自于公钥密码系统的最有用的特征--每个人都能使用公钥。但从算法上无法解决这一问题，主要措施有两条：一条是采用好的公钥协议，保证工作过程中实体不对其他实体任意产生的信息解密，不对自己一无所知的信息签名；另一条是决不对陌生人送来的随机文档签名，签名时首先使用One-Way HashFunction 对文档作HASH处理，或同时使用不同的签名算法。在中提到了几种不同类型的攻击方法。
五、RSA的公共模数攻击
若系统中共有一个模数，只是不同的人拥有不同的e和d，系统将是危险的。最普遍的情况是同一信息用不同的公钥加密，这些公钥共模而且互质，那末该信息无需私钥就可得到恢复。设P为信息明文，两个加密密钥为e1和e2，公共模数是n，则：
C1 = P^e1 mod n
C2 = P^e2 mod n
密码分析者知道n、e1、e2、C1和C2，就能得到P。
因为e1和e2互质，故用Euclidean算法能找到r和s，满足：
r * e1 + s * e2 = 1
假设r为负数，需再用Euclidean算法计算C1^(-1)，则
( C1^(-1) )^(-r) * C2^s = P mod n
另外，还有其它几种利用公共模数攻击的方法。总之，如果知道给定模数的一对e和d，一是有利于攻击者分解模数，一是有利于攻击者计算出其它成对的e’和d’，而无需分解模数。解决办法只有一个，那就是不要共享模数n。
RSA的小指数攻击。 有一种提高 RSA速度的建议是使公钥e取较小的值，这样会使加密变得易于实现，速度有
所提高。但这样作是不安全的，对付办法就是e和d都取较大的值。
RSA算法是第一个能同时用于加密和数字签名的算法，也易于理解和操作。RSA是被研究得最广泛的公钥算法，从提出到现在已近二十年，经历了各种攻击的考验，逐渐为人们接受，普遍认为是目前最优秀的公钥方案之一。RSA的安全性依赖于大数的因子分解，但并没有从理论上证明破译RSA的难度与大数分解难度等价。即RSA的重大缺陷是无法从理论上把握它的保密性能如何，而且密码学界多数人士倾向于因子分解不是NPC问题。 RSA的缺点主要有：A)产生密钥很麻烦，受到素数产生技术的限制，因而难以做到一次一密。B)分组长度太大，为保证安全性，n 至少也要 600 bits 以上，使运算代价很高，尤其是速度较慢，较对称密码算法慢几个数量级；且随着大数分解技术的发展，这个长度还在增加，不利于数据格式的标准化。目前，SET( Secure Electronic Transaction )协议中要求CA采用比特长的密钥，其他实体使用比特的密钥。
前一阵子看了电视剧《暗算》，蛮喜欢它的构思和里面的表演。其中有一个故事提到了密码学，故事本身不错，但是有点故弄玄虚。不过有一点是对的，就是当今的密码学是以数学为基础的。（没有看过暗算的读者可以看一下介绍，
http://ent.sina.com.cn/v/2005-10-17/ba866985.shtml因为我们后面要多次提到这部电视剧。）
密码学的历史大致可以推早到两千年前，相传名将凯撒为了防止敌方截获情报，用密码传送情报。凯撒的做法很简单，就是对二十几个罗马字母建立一张对应表，比如说
这样，如果不知道密码本，即使截获一段信息也看不懂，比如收到一个的消息是 EBKTBP，那么在敌人看来是毫无意义的字，通过密码本解破出来就是 CAESAR 一词，即凯撒的名字。这种编码方法史称凯撒大帝。当然，学过信息论的人都知道，只要多截获一些情报，统计一下字母的频率，就可以解破出这种密码。柯蓝道尔在他的“福尔摩斯探案集”中“跳舞的小人”的故事里已经介绍了这种小技巧。在很长时间里，人们试图找到一些好的编码方法使得解密者无法从密码中统计出明码的统计信息，但是，基本上靠经验。有经验的编码者会把常用的词对应成多个密码， 使得破译者很难统计出任何规律。比如，如果将汉语中的“是”一词对应于唯一一个编码 0543，那么破译者就会发现 0543 出现的特别多。但如果将它对应成十个密码 0543，3737，2947 等等，每次随机的挑一个使用，每个密码出现的次数就不会太多，而且破译者也无从知道这些密码其实对应一个字。这里面虽然包含着朴素的概率论的原理，但是并不科学化。另外，好的密码必须做到不能根据已知的明文和密文的对应推断出新的密文的内容。历史上有很多在这方面设计得不周到的密码的例子。在第二次世界大战中，日本军方的密码设计就很成问题。美军破获了日本很多密码。在中途岛海战前，美军截获的日军密电经常出现 AF 这样一个地名，应该是太平洋的某个岛屿，但是美军无从知道是哪个。于是，美军就逐个发表自己控制的每个岛屿上的假新闻。当美军发出“中途岛供水系统坏了”这条假新闻后，从截获的日军情报中又看到 AF 供水出来问题的电文，美军就断定中途岛就是 AF。事实证明判断正确，美军在那里成功地伏击了日本主力舰队。
事实上，在第二次世界大战中，很多顶尖的科学家包括提出信息论的香农都在为美军情报.部门工作，而信息论实际上就是情报学的直接产物。香农提出信息论后，为密码学的发展带来了新气象。根据信息论，密码的最高境界是使得敌人在截获密码后，对我方的所知没有任何增加，用信息论的专业术语讲，就是信息量没有增加。一般来讲，当密码之间分布均匀并且统计独立时，提供的信息最少。均匀分布使得敌人无从统计，而统计独立能保证敌人即使看到一段密码和明码后，不能破译另一段密码。这也是《暗算》里传统的破译员老陈破译的一份密报后，但无法推广的原因，而数学家黄依依预见到了这个结果，因为她知道敌人新的密码系统编出的密文是统计独立的。有了信息论后，密码的设计就有了理论基础，现在通用的公开密钥的方法，包括《暗算》里的“光复一号”密码，就是基于这个理论。
公开密钥的原理其实很简单，我们以给上面的单词 Caesar 加解密来说明它的原理。我们先把它变成一组数，比如它的 Ascii 代码 X=099097101115097114（每三位代表一个字母）做明码。现在我们来设计一个密码系统，对这个明码加密。
1，找两个很大的素数（质数）P 和 Q，越大越好，比如 100 位长的, 然后计算它们的乘积 N=P×Q，M=（P-1）×（Q-1）。
2，找一个和 M 互素的整数 E，也就是说 M 和 E 除了 1 以外没有公约数。
3，找一个整数 D，使得 E×D 除以 M 余 1，即 E×D mod M = 1。
现在，世界上先进的、最常用的密码系统就设计好了，其中 E 是公钥谁都可以用来加密，D 是私钥用于解密，一定要自己保存好。乘积 N 是公开的，即使敌人知道了也没关系。
现在，我们用下面的公式对 X 加密，得到密码 Y。
好了，现在没有密钥 D，神仙也无法从 Y 中恢复 X。如果知道 D，根据费尔马小定理，则只要按下面的公式就可以轻而易举地从 Y 中得到 X。
这个过程大致可以概况如下：
公开密钥的好处有：
1.简单。
2.可靠。公开密钥方法保证产生的密文是统计独立而分布均匀的。也就是说，不论给出多少份明文和对应的密文，也无法根据已知的明文和密文的对应来破译下一份密文。更重要的是 N,E 可以公开给任何人加密用，但是只有掌握密钥 D 的人才可以解密, 即使加密者自己也是无法解密的。这样，即使加密者被抓住叛变了，整套密码系统仍然是安全的。（而凯撒大帝的加密方法有一个知道密码本的人泄密，整个密码系统就公开了。）
3.灵活，可以产生很多的公开密钥E和私钥D的组合给不同的加密者。
最后让我们看看破解这种密码的难度。首先，要声明，世界上没有永远破不了的密码，关键是它能有多长时间的有效期。要破公开密钥的加密方式，至今的研究结果表明最好的办法还是对大字 N 进行因数分解，即通过 N 反过来找到 P 和 Q，这样密码就被破了。而找 P 和 Q 目前只有用计算机把所有的数字试一遍这种笨办法。这实际上是在拼计算机的速度，这也就是为什么 P 和 Q 都需要非常大。一种加密方法只有保证 50 年计算机破不了也就可以满意了。前几年破解的 RSA-158 密码是这样因数分解的
395058745832651445264197678006144819960207764603049364541393760515793556265294
50683609727842468219535093544305870490251995655335710209799226484977949442955603
= 3388495837466721394368393204672181522815830368604993048084925840555281177 ×11658823406671259903148376558383270818131012258146392600439520994131344334162924536139
现在，让我们回到《暗算》中，黄依依第一次找的结果经过一系列计算发现无法归零，也就是说除不尽，我猜她可能试图将一个大数 N 做分解，没成功。第二次计算的结果是归零了，说明她找到的 N=P×Q 的分解方法。当然，这件事能不能用算盘完成，我就不知道了，但我觉得比较夸张。另外我对该电视剧还有一个搞不懂的问题就是里面提到的“光复一号”密码的误差问题。一个密码是不能有误差的，否则就是有的密钥也无法解码了。我想可能是指在构造密码时，P 和 Q 之一没找对，其中一个（甚至两个都）不小心找成了合数，这时密码的保密性就差了很多。如果谁知道电视剧里面讲的“误差”是指什么请告诉我。另外，电视剧里提到冯∙诺依曼，说他是现代密码学的祖宗，我想是弄错了，应该是香农。冯∙诺依曼的贡献在发明计算机和提出博弈论（game theory）。
不管怎么样，我们今天用的所谓最可靠的加密方法的数学原理其实就这么简单，一点也不神秘，无非是找几个大素数做一些乘除和乘方运算就可以了。