学习、工作日志

附录 ：常用的数学公式

坐标几何 
一对垂直相交于平面的轴线，可以让平面上的任意一点用一组实数来表示。轴线的交点是 (0, 0)，称为原点。水平与垂直方向的位置，分别用x与y代表。 
一条直线可以用方程式y＝mx＋c来表示，m是直线的斜率（gradient）。这条直线与y轴相交于 (0, c)，与x轴则相交于(-c/m, 0)。垂直线的方程式则是x＝k，x为定值。 
通过(x₀, y₀)这一点，且斜率为n的直线是 
y-y₀＝n(x-x₀) 
一条直线若垂直于斜率为n的直线，则其斜率为-1/n。通过(x₁, y₁)与(x₂, y₂)两点的直线是 
y＝(y₂-y₁／x₂-x₁)(x-x₂)＋y₂　　 x₁≠x₂ 
若两直线的斜率分别为m与n，则它们的夹角θ满足于 
tanθ＝m-n／1＋mn 
半径为r、圆心在(a, b)的圆，以(x-a) ²＋(y-b) ²＝r²表示。 
 
三维空间里的坐标与二维空间类似，只是多加一个z轴而已，例如半径为r、中心位置在(a, b, c)的球，以(x-a) ²＋(y-b) ²＋(z-c) ²＝r²表示。 
三维空间平面的一般式为ax＋by＋cz＝d。 
三角学 
边长为a、b、c的直角三角形，其中一个夹角为θ。它的六个三角函数分别为：正弦（sine）、余弦（cosine）、正切（tangent）、余割（cosecant）、正割（secant）和余切（cotangent）。 
sinθ＝b/c　　cosθ＝a/c　　tanθ＝b/a 
cscθ＝c/b　　secθ＝c/a　　cotθ＝a/b 
 
若圆的半径是1，则其正弦与余弦分别为直角三角形的高与底。 
a＝cosθ　　　　b＝sinθ 
依照勾股定理,我们知道a²＋b²＝c²。因此对于圆上的任何角度θ，我们都可得出下列的全等式： 
cos²θ＋sin²θ＝1 

三角恒等式 
根据前几页所述的定义，可得到下列恒等式（identity）： 
tanθ＝sinθ/cosθ，cotθ＝cosθ/sinθ 
secθ＝1/cosθ，cscθ＝1/sinθ 
 
分别用cos 2θ与sin 2θ来除cos ²θ＋sin ²θ＝1，可得： 
sec ²θ-tan ²θ＝1　　及　　csc ²θ-cot ²θ＝1 
对于负角度，六个三角函数分别为： 
sin(-θ)＝ -sinθ 　csc(-θ)＝ -cscθ 
cos(-θ)＝ cosθ　　sec(-θ)＝ secθ 
tan(-θ)＝ -tanθ　 cot(-θ)＝ -cotθ 
 
当两角度相加时，运用和角公式： 
sin(α＋β)＝ sinαcosβ＋cosαsinβ 
cos(α＋β)＝ cosαcosβ-sinαsinβ 
tan(α＋β)＝ tanα＋tanβ／1-tanαtanβ 
若遇到两倍角或三倍角，运用倍角公式： 
sin2α＝ 2sinαcosα　 sin3α＝ 3sinαcos2α-sin3α 
cos2α＝ cos 2α-sin 2α　cos3α＝ cos 3α-3sin 2αcosα 
tan 2α＝ 2tanα／1-tan 2α 
tan3α＝ 3tanα-tan 3α／1-3tan 2α 

二维图形 
下面是一些二维图形的周长与面积公式。 
圆： 
半径＝ r　　　　直径d＝2r 
圆周长＝ 2πr ＝πd 
面积＝πr²　 (π＝3.1415926.......) 
椭圆： 
面积＝πab 
a与b分别代表短轴与长轴的一半。 
矩形： 
面积＝ ab 
周长＝ 2a＋2b 
平行四边形（parallelogram）： 
面积＝ bh ＝ ab sinα 
周长＝ 2a＋2b 
梯形： 
面积＝ 1/2h (a＋b) 
周长＝ a＋b＋h (secα＋secβ) 
正n边形： 
面积＝ 1/2nb² cot (180°/n) 
周长＝ nb 
四边形（i）： 
面积＝ 1/2ab sinα 
四边形（ii）： 
面积＝ 1/2 (h₁＋h₂) b＋ah₁＋ch₂ 
三维图形 
以下是三维立体的体积与表面积（包含底部）公式。 
球体： 
体积＝ 4/3πr³ 
表面积＝ 4πr² 
方体： 
体积＝ abc 
表面积＝ 2(ab＋ac＋bc) 
圆柱体： 
体积＝ πr²h 
表面积＝ 2πrh＋2πr² 
圆锥体： 
体积＝ 1/3πr²h 
表面积＝πr√r²＋h² ＋πr² 
三角锥体： 
若底面积为A， 
体积＝ 1/3Ah 
平截头体（frustum）： 
体积＝ 1/3πh (a²＋ab＋b²) 
表面积＝π(a＋b)c＋πa²＋πb² 
椭球： 
体积＝ 4/3πabc 
环面（torus）： 
体积＝ 1/4π² (a＋b) (b-a) ² 
表面积＝π² (b²-a²)