乱弹OpenGL中的矩阵变换(上)
在前面的日志(Shadow Volume 阴影锥技术之探Ⅲ )中,自己稍微提及了NEHE的"3D矩阵求逆"方法之高,并谈了谈自己的一点拙略理解。呵呵，然后，既然如此，一不做二不休，在本篇中得继续乱弹一下下，关于OpenGL矩阵的理解。因为我实在不知道会不会在哪儿就把你忽悠+误导了(但还是期盼你的信任)，请看官自重哈哈。
这里有一句，我认为，最能够消解头脑中的云雾的话：OpenGL中所有的变换，都是在变换坐标系。
你还好吗？你还能看见你眼前书桌上那个苹果吗？你把它向右边移动10厘米看看？移好了吗？想一想，假如你眼前就是OpenGL的一个渲染窗口的话，苹果是不是往x轴正方向移动了10单位（假设单位：厘米）？恩，你现在所感受到的真实告诉你：苹果确实不再在原位置，而是向右移了10厘米到了一个新的位置。我想说的是，当你完全迈进3D图形学殿堂后，请不要再那么轻易相信的眼睛所感受到的真实——它是真实，但不是真实的全部。在你刚才一瞬间想象出的OpenGL渲染窗口里，苹果没有移动，它一直在那里，一直....而移动的是整个空间，整个世界，包括书桌，包括你，包括你的眼睛！
在OpenGL的那个世界中，最初存在着几个重叠的空间。有模型空间，有世界空间，视图空间，屏幕空间等。每个空间实质就是一个坐标系(统)——坐标系统当然就有坐标轴。在最初的这个时刻，也许整个OpenGL世界也就只有这一套坐标轴了：恩，一套。世界永远只有一个，但是依附于这个世界的空间则平行地同时存在——实体（例如坐标轴，苹果）唯一，而实体的表示（各个空间中对应的坐标轴，苹果）则多样。我是这么理解的，OpenGL世界。
最初的OpenGL世界只有一套看不见的坐标轴，然后，用户说：苹果！于是世上就有了苹果。苹果轻轻地出现在映射着这个世界的各个空间中——就在那个万物之源的坐标原点上。原点与苹果的“中心”对应（当然“中心”不一定指苹果中间，它由上帝...不,用户在制造这个苹果时决定。确切地说，我们在画物件(或者直接叫：模型)时给予这些东西的各个glVertex3顶点(坐标x,y,z)，它们的存在必然以位置(0,0,0)为标尺——这个位置就是此物件的“中心”）。就在苹果出现的此瞬间，模型空间（Model-Coordination,也称Local-Corrdination）安静了，此刻的整个世界的一切如同屏幕截图般被保存起来，储存在模型空间——永远以当前这个“中心”为原点，以当前这些坐标(x,y,z)为苹果各顶点的"模型坐标系坐标"。
//1.用户创世第1天,说:苹果! 世上便有了苹果---苹果在模型空间(local 空间)被永恒描述
DrawApple() //{glBegin();glVertex3f(A);glVertex3f(B)....glEnd()}
//1.用户创世第1天,说:苹果! 世上便有了苹果---苹果在模型空间(local 空间)被永恒描述
DrawApple() //{glBegin();glVertex3f(A);glVertex3f(B)....glEnd()}
当然，苹果出现在模型空间坐标系统原点，必然也就出现在其他空间坐标系统的原点，此时各空间的坐标系是重合的，只不过模型空间被固定了，其他空间还没而已。苹果怎么移动到别处呢?恩，编程的时候可以这么问，但当你正在了解OpenGL世界的时候（如现在），这个问法很不靠谱。你看上面的代码（glVertex3f(A); glVertex3f(B)....）这里点A，B...不是给定了吗？就算是变量，在“画点”的时刻变量的值也是给定的呀。是的，变的不该是苹果，而是坐标系，准确地理解，是世界空间（World-Coordination）的那个坐标系要变，在原先与模型空间坐标系重合的基础上变。这个变的过程，叫模型变换（Model-Translation）。具体来说就是用一个表示“转动/移动/缩放”的矩阵左乘苹果的各个顶点坐标，得出的结果（是一些不同的坐标）作为苹果对应顶点在世界空间坐标系中的位置坐标。诶？苹果变了吗？可以这么说，苹果的“坐标”还是原来那些A.B...但对应于世界坐标系的“位置”变化了。
这里确实是很容易迷糊，默念吧：OpenGL中所有的变换，都是在变换坐标系。不是苹果右移了10厘米，而是世界坐标系左移了10厘米！假设苹果中心最初恰就是出现在模型空间并与模型坐标系原点重合，然后考虑以此为初状态的世界空间，在用户做了模型变换（向苹果中心点所在之坐标(0,0,0)，左乘一个表示右移10厘米的模型变换矩阵）后，这个坐标由(0,0,0)变成(10,0,0),相当于坐标系原来的虚拟坐标(10,0,0)变成现在的(0,0,0)。看，坐标系（由无限的虚拟坐标构成）左移10厘米！我想说，这才是模型变换（Model-Translation）的真正所为。与之前一样,当一切变换完成,结果被截屏存入世界空间。世界空间的动荡结束，从此定型。
//2.用户创世第2天,说:苹果右移! 于是世界坐标系便左移了,结果存入世界空间
glMatrixMode(GL_MODEL);//表示接下来要作“模型转换”
glTranslatef(10,0,0);//相当于一个平移矩阵
//1.用户创世第1天,说:苹果! 世上便有了苹果---苹果在模型空间(local 空间)被永恒描述
DrawApple() //{glBegin();glVertex3f(A);glVertex3f(B)....glEnd()}
//2.用户创世第2天,说:苹果右移! 于是世界坐标系便左移了,结果存入世界空间
glMatrixMode(GL_MODEL);//表示接下来要作“模型转换”
glTranslatef(10,0,0);//相当于一个平移矩阵
//1.用户创世第1天,说:苹果! 世上便有了苹果---苹果在模型空间(local 空间)被永恒描述
DrawApple() //{glBegin();glVertex3f(A);glVertex3f(B)....glEnd()}
接下来发生的事情跟之前一样，只是从模型空间---（模型变换）---》世界空间的关系，改成世界空间---（视图变换 View Translation）---》视图空间的关系而已。请好好再模拟一次：一模一样的过程，这次的移动所需要的左乘矩阵（左乘刚才保存的模型转换结果嘛）由相机(眼睛,视线)的设置提供，结果存入视图空间而已。
//3.用户创世第3天,说:我是主角! 于是他拥有了第一人称视觉,结果存视图空间
glMatrixMode(GL_VIEW);//表示接下来要作“视图转换”
gluLookat(eye,look,up)//也相当于一个平移矩阵
//2.用户创世第2天,说:苹果右移! 于是世界坐标系便左移了,结果存入世界空间
glMatrixMode(GL_MODEL);//表示接下来要作“模型转换”
glTranslatef(10,0,0);//相当于一个平移矩阵
//1.用户创世第1天,说:苹果! 世上便有了苹果---苹果在模型空间(local 空间)被永恒描述
DrawApple() //{glBegin();glVertex3f(A);glVertex3f(B)....glEnd()}
//3.用户创世第3天,说:我是主角! 于是他拥有了第一人称视觉,结果存视图空间
glMatrixMode(GL_VIEW);//表示接下来要作“视图转换”
gluLookat(eye,look,up)//也相当于一个平移矩阵
//2.用户创世第2天,说:苹果右移! 于是世界坐标系便左移了,结果存入世界空间
glMatrixMode(GL_MODEL);//表示接下来要作“模型转换”
glTranslatef(10,0,0);//相当于一个平移矩阵
//1.用户创世第1天,说:苹果! 世上便有了苹果---苹果在模型空间(local 空间)被永恒描述
DrawApple() //{glBegin();glVertex3f(A);glVertex3f(B)....glEnd()}
噢，接下来是：视图空间---（投影变换）---》屏幕空间。投影变换的变换手法与之前的不同，屏幕空间以视图空间结果为基础，先用一个平头锥体（视景锥）把视线范围外的空间割了（裁剪），再把投影到一个可以覆盖渲染屏幕窗口的矩形上（具体做法是，XYZ除以隐含的齐次坐标W，然后舍弃深度Z），保存为屏幕空间——一个平面，让用户所能感悟到这一切不过显示器屏幕一部分像素的把戏。当然，最后的坐标还要隐映射为渲染窗口的客户区坐标（原点在窗口左上角，Y轴下X轴右的平面坐标），算是走出了OPENGL世界。
//4.用户创世第4天,说:到显示屏来吧! 世界便是"平"的了.最后得屏幕空间
glViewport(0,0,width,height);//设置那个"视景区矩形"大小
glMatrixMode(GL_PROJECTION));//表示接下来要作“投影转换”
gluPerspective(fov,aspect,near,far);//视景体应用
//3.用户创世第3天,说:我是主角! 于是他拥有了第一人称视觉,结果存视图空间
glMatrixMode(GL_VIEW);//表示接下来要作“视图转换”
gluLookat(eye,look,up)//也相当于一个平移矩阵
//2.用户创世第2天,说:苹果右移! 于是世界坐标系便左移了,结果存入世界空间
glMatrixMode(GL_MODEL);//表示接下来要作“模型转换”
glTranslatef(10,0,0);//相当于一个平移矩阵
//1.用户创世第1天,说:苹果! 世上便有了苹果---苹果在模型空间(local 空间)被永恒描述
DrawApple() //{glBegin();glVertex3f(A);glVertex3f(B)....glEnd()}
//4.用户创世第4天,说:到显示屏来吧! 世界便是"平"的了.最后得屏幕空间
glViewport(0,0,width,height);//设置那个"视景区矩形"大小
glMatrixMode(GL_PROJECTION));//表示接下来要作“投影转换”
gluPerspective(fov,aspect,near,far);//视景体应用
//3.用户创世第3天,说:我是主角! 于是他拥有了第一人称视觉,结果存视图空间
glMatrixMode(GL_VIEW);//表示接下来要作“视图转换”
gluLookat(eye,look,up)//也相当于一个平移矩阵
//2.用户创世第2天,说:苹果右移! 于是世界坐标系便左移了,结果存入世界空间
glMatrixMode(GL_MODEL);//表示接下来要作“模型转换”
glTranslatef(10,0,0);//相当于一个平移矩阵
//1.用户创世第1天,说:苹果! 世上便有了苹果---苹果在模型空间(local 空间)被永恒描述
DrawApple() //{glBegin();glVertex3f(A);glVertex3f(B)....glEnd()}
事实上OpenGL的glMatrixMode函数里没有GL_MODEL和GL_VIEW这两种设值。上面提到过，模型变换和视图变换其实是同一种处理，而且视图变换只由相机控制，有则有,无则默认。因此OpenGL直接就用GL_MODELVIEW一起转换了。简洁是简洁，但是这样一来用户就不知道世界空间里的坐标系什么时候改变了，也难得到物体在世界坐标系下的位置坐标了（事实上还是有办法的，不过搞复杂了，见以后的博文啦）。
glViewport(0,0,width,height);//设置那个"视景区矩形"大小
glMatrixMode(GL_PROJECTION));//表示接下来要作“投影转换”
glLoadIdentity();
gluPerspective(fov,aspect,near,far);//视景体应用
gluLookat(eye,look,up)//控制整个视景体
glMatrixMode(GL_MODELVIEW);//表示接下来要作“模型视图转换”
glLoadIdentity();
glTranslatef(10,0,0);//相当于一个平移矩阵
DrawApple() //{glBegin();glVertex3f(A);glVertex3f(B)....glEnd()}
........
glViewport(0,0,width,height);//设置那个"视景区矩形"大小
glMatrixMode(GL_PROJECTION));//表示接下来要作“投影转换”
glLoadIdentity();
gluPerspective(fov,aspect,near,far);//视景体应用
gluLookat(eye,look,up)//控制整个视景体
glMatrixMode(GL_MODELVIEW);//表示接下来要作“模型视图转换”
glLoadIdentity();
glTranslatef(10,0,0);//相当于一个平移矩阵
DrawApple() //{glBegin();glVertex3f(A);glVertex3f(B)....glEnd()}
........
此外，每次变换不是以之前保存的那个空间的位置信息为基础吗？这要用到glLoadIdentity()函数，初始化当前矩阵，为什么？还是看下篇吧：
本文来源于ZwqXin http://www.zwqxin.com/ , 转载请注明
原文地址：http://www.zwqxin.com/archives/opengl/opengl-matrix-what.html
本篇文章承接上文：乱弹OpenGL中的矩阵变换(上) 。上篇中，我尝试从一种不太成熟的OpenGL世界观（注意，或许也是3D渲染世界的世界观）来认识这个OpenGL世界，向自己澄清了一些概念（尽管不够高清）。这里我想继续从矩阵数学的角度想一想：究竟模型位置怎么在世界中各个空间的坐标系统中“转换”？——ZwqXin
OpenGL中的坐标系是右手坐标系，矩阵按列优先存储。这很让人混乱，因为线代里接触的都是行优先存储，突然就这么column-major了.....最初还窃认为该不该从向量角度让头脑清晰，后来看别人文章说这跟向量没啥关系，完全是一种规范：如同右手坐标系，只是一种规范。好吧，列就列啦：
mt0 mt4 mt8 mt12
mt1 mt5 mt9 mt13
mt2 mt6 mt10 mt14
mt3 mt7 mt11 mt15
有点怪是不？当然啦，连C语言学2维数组时都是row-major的，OpenGL却是先一竖下来，再来下一竖（column-major）...（考虑一块内存，第一个格子存mt0，第二存mt1.....）这就是OpenGL矩阵存储方式。上篇提到，模型变换（Mode-Translation）,视图变换（View-Translation）乃至投影变换，这些决定了各个空间之不同的"针对坐标系的变换"，实质产生出来的是一个左乘矩阵，这些矩阵就是这样存储的。如果你看过任何一本3D图形学的入门书前两章，那你应该知道模型变换(在OpenGL中反映为glTranslate,glScale,glRotate)所使用的矩阵。譬如我这里先让苹果绕z轴逆转个角度Θ，再让它变成原大小的A倍，再右移10单位:（P.S.翻译成OpenGL世界的语言：在模型空间坐标系确定的位置基础上，让世界空间坐标系绕z轴顺转角度Θ，坍缩成原来一半大小，并左移10单位，注意是坍缩后1单位表示的长度跟之前的不一样了。）
A*cosΘ-sinΘ0 10
sinΘA*cosΘ00
00A*1 0
0001
X
* y = M * P(point of Apple)
z
1
其中M是变换矩阵，点P(x,y,z,1)是苹果的其中一个点的坐标（记得吗？这个坐标是在模型空间确定的并且不变），它是一个竖向量形式的点。为什么是竖向量呢，因为OpenGL矩阵的左乘：（4X4）*（4X1）=（4X1）嘛，这是线形代数知识，（A行数XA列数）*（B行数XB列数）中，只有A列数=B行数，这两个矩阵（向量）才可以相乘。那为什么要左乘？因为OpenGL(点)向量是列向量！哈哈，不是忽悠，这根本就是“规范问题”，譬如D3D就全采取相反的，不多说。最后，思考者应该已经把上面那个矩阵跟再上面那个“模板”对应起来了吧（OPENGL在内存中把相乘的结果——这16个数按mt0=A*cosΘ, mt1=sinΘ, mt2=0, mt3=0, mt4=-sinΘ, mt5=A*cosΘ, mt6=0......这样的竖的顺序存放）。再譬如我在之前的ShadowVolume Demo中就这样定义了一个4X4矩阵类，并这样定义了一个矩阵（就是上面的mt嘛）左乘某点向量的方法：
class CMatrix16
{
public:
float mt[16];
inline CVector4D operator*(CVector4D & vec4) {
return CVector4D(mt[0] * vec4.x + mt[4] * vec4.y + mt[8] * vec4.z + mt[12] * vec4.w ,
mt[1] * vec4.x + mt[5] * vec4.y + mt[9] * vec4.z + mt[13] * vec4.w ,
mt[2] * vec4.x + mt[6] * vec4.y + mt[10]* vec4.z + mt[14] * vec4.w ,
mt[3] * vec4.x + mt[7] * vec4.y + mt[11]* vec4.z + mt[15] * vec4.w );
};
};
class CMatrix16
{
public:
float mt[16];
inline CVector4D operator*(CVector4D & vec4) {
return CVector4D(mt[0] * vec4.x + mt[4] * vec4.y + mt[8] * vec4.z + mt[12] * vec4.w ,
mt[1] * vec4.x + mt[5] * vec4.y + mt[9] * vec4.z + mt[13] * vec4.w ,
mt[2] * vec4.x + mt[6] * vec4.y + mt[10]* vec4.z + mt[14] * vec4.w ,
mt[3] * vec4.x + mt[7] * vec4.y + mt[11]* vec4.z + mt[15] * vec4.w );
};
};
然后，我们回头看之前那条式子，得出的结果是（A*cosΘ*x - sinΘ*y + 10，sinΘ*x + A*cosΘ*y，A*z，1），这是点P的新位置，注意，再说一次，是“位置”而不是“坐标”，点P坐标依然是(x,y,z,1)。（当然，你还可以用这样的概念来区分。）我姑且把结果记作（MP），所有点的结果构成了苹果在世界空间的位置。好了，看看代码：
glMatrixMode(GL_MODEL);
glTranslatef(10,0,0);
glScalef(A,A,A);
glRotatef(Θ, 0,0,1)
DrawApple() ;
glMatrixMode(GL_MODEL);
glTranslatef(10,0,0);
glScalef(A,A,A);
glRotatef(Θ, 0,0,1)
DrawApple() ;
请从下往上看。你问为什么顺序是倒着的呢？这跟上篇遗留下来的问题很相似。现在经过模型变换来到了世界空间，接下来是视图变换了。设当前相机得出的左乘矩阵为V，那么下一步，相似地，就是V*（MP）=（VMP）。上篇说过，OpenGL把模型变换和视图变换合并为“模型视图变换”，也就是说，OpenGL只生成一个左乘矩阵VM，上面的两步乘法，在OpenGL中其实一步到位：VM*P=（VMP）。我们来到了视图空间。真正代码在此：
gluLookat(eye,look,up);
glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
glLoadIdentity();
glTranslatef(10,0,0);
glScalef(A,A,A);
glRotatef(Θ, 0,0,1)
DrawApple() ;
gluLookat(eye,look,up);
glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
glLoadIdentity();
glTranslatef(10,0,0);
glScalef(A,A,A);
glRotatef(Θ, 0,0,1)
DrawApple() ;
接下来由视景体设置，视口设置，投影处理得出的左乘矩阵是J，那么相似地，我们继续左乘：J*（VMP）=（JVMP），来到屏幕空间——OpenGL世界的出口（之后的往窗口坐标系映射等等已经不算OpenGL的工作了）。
glViewport(0,0,width,height);//设置视口（视窗）大小
glMatrixMode(GL_PROJECTION));
glLoadIdentity();
gluPerspective(fov,aspect,near,far);
gluLookat(eye,look,up);
glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
glLoadIdentity();
glTranslatef(10,0,0);
glScalef(A,A,A);
glRotatef(Θ, 0,0,1)
DrawApple() ;
glViewport(0,0,width,height);//设置视口（视窗）大小
glMatrixMode(GL_PROJECTION));
glLoadIdentity();
gluPerspective(fov,aspect,near,far);
gluLookat(eye,look,up);
glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
glLoadIdentity();
glTranslatef(10,0,0);
glScalef(A,A,A);
glRotatef(Θ, 0,0,1)
DrawApple() ;
是不是回到了上篇的结尾呢？恩，我从矩阵意义上再梳理了一次流程。然后，可以回答为什么代码是倒过来写的了吧？——这说明你很清楚，代码是按顺序从上往下执行的。没错，OpenGL中执行这些代码也是从上往下执行的。所以你看看吧，这次要从上往下看：第1句：视窗设置，没什么，它只剔除，不直接产生矩阵（而且还得在下面投影变换处发挥作用）；第2句：接下来要作投影变换啦；第3句：glLoadIdentity()，哈哈！这才是重点——无论眼前的是什么，它都能把它初始化成一个单位矩阵！而这里的这个单位矩阵，是一切的开端，它确实就是一个单位矩阵(I)了，后面第4句视景体的设置产生的投影变换矩阵（J）右乘它：J= I*J；接下来第5句相机设置，第6句表示模型视图变换的开始，第7句又一个glLoadIdentity()，继续右乘：J= I*J*I，这有什么用啊？呵呵，因为接下来“模型视图变换”产生的矩阵VM要继续右乘这个结果，直接让两个变换矩阵相乘可以是可以，那么如果没有投影变换呢？呵呵，这是有可能的，先不说平时我们渲染，就我们哪天突然要在模型空间搞事（譬如上次ShadowVolumeDemo那样“回光返照”），单单应用“模型视图变换”就关联不到最初那个glLoadIdentity()了。所以让一个glLoadIdentity()在作变换前出现是好的：VM = I*VM，实际上所有变换前加一个glLoadIdentity()是好习惯。
好吧，整理一下：假设把苹果旋转，放大，移动的相应变换矩阵是R，S，T，相机那个是L，那么这里就是 VM =L*T*S*R，也是倒过来的吧呵呵。按代码顺序的话右乘起来是这样的：（JVM）= I*J*I*VM =I *J*I*L*S*T,等式右边项是严格按照相应代码顺序来右乘的。为什么这里变右乘了？事实上我们说OpenGL的矩阵左乘规范，它跟代码顺序是两码事，矩阵左乘是从逻辑上来说的（也就是上篇和本篇我在开讲代码执行顺序前讲述的那些故事的逻辑，是属于OpenGL世界的逻辑），代码顺序是属于编译器的哦。好了，这个（JVM）就是要把处于模型空间的物体转移到屏幕上来——这时候它才和苹果的顶点相乘：（JVMP）=（JVM）*P，看好了，也是右乘，当然的了——结果是，苹果那么多顶点在一次渲染周期内只被“用”了一次！要知道，得出（JVM）结果的计算只有那么几个矩阵相乘运算，但是苹果N个顶点就有N个（JVM）*P的相乘运算哦！如果代码执行顺序相反你觉得会怎样？“几个N相乘”这么多次运算哦！
这里还有概念要澄清：
1.我说了，苹果也好，其他任何画出来的“东西”也好，它们坐标是在给出顶点坐标的时候就确定在模型空间的了，变换的是位置，也许说它们变换了还不对——因为真正被变换的是坐标系：你上面也看到了，苹果的坐标是最后右乘上去的，之前一直变换的是最初那个单位矩阵，单位矩阵的变换也代表了最初各空间重合的OpenGL世界的坐标系——上篇说过，它的变换是反着模型的（当然也反着单位矩阵），这里也不妨说，它受变换的阶段顺序都是反着模型的——而且它是按照编译器执行顺序变换出来的，是真正的，真实存在的变换：OpenGL中所有的变换，都是在变换坐标系。
2.说法问题，“坐标”和“位置”，一路看下来你也知道，我不把它们当一回事（不想再罗嗦了恩）。但是更通常的叫法（虽然容易引起歧义但说得广泛），是把“坐标”（固定于模型空间的那个，模型刚刚在世界出现时候的位置- -看，又罗嗦了）称为“局部坐标(Local-Coordinate)”，把世界空间里面那个“位置”叫“世界坐标（World-Coordinate）”，也有直接简称它为坐标的（这样的明显不是高手），因为它最能被感知，也许你在了解什么模型空间模型变换等等等等这些概念前，唯一认识的就是世界坐标——它就标识着3D渲染窗口里那个虚拟3D世界不是么？恩，所以说世界空间是OpenGL世界中近乎“正常”的空间，类比一下，如果把我们人类所生活的空间叫“世界空间”的话，小说中描绘的到处扭曲的异次元空间就叫“模型空间”呀“屏幕空间”呀之类的了（笑）。遗憾的是OpenGL不直接给我们提供这个空间中各物体的坐标系位置呢~不怕，我们还有逆矩阵！
3.等有缘的你来发挖啦！错误啦认识问题啦，随便提。这里是ZwqXin: www.zwqxin.com, 我的3D旅途记录簿。（纪念今天2009.2.5.BLOG上轨道啦。）
最后...还有glPushMatrix()和glPopMatrix()呢？相信大家用得很多，也知道用处：在它们之外的东西不受它们里面的那些模型变换代码影响。譬如下面这里，苹果跟上面一样也是做那些变换。可是橙呢？旋转和放大对它无影响，它只是受到移动了（OpenGL世界说法是，对应坐标系移动了）。
glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
glLoadIdentity();
glTranslatef(10,0,0);
glPushMatrix();
glScalef(A,A,A);
glRotatef(Θ, 0,0,1);
DrawApple() ;
glPopMatrix();
DrawOrange() ;
glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
glLoadIdentity();
glTranslatef(10,0,0);
glPushMatrix();
glScalef(A,A,A);
glRotatef(Θ, 0,0,1);
DrawApple() ;
glPopMatrix();
DrawOrange() ;
不知道我的讲解有没有人满意。我自己倒是满意了。哈哈。后面我还会有文章说说逆矩阵运算的问题和作用，并赞NEHE，有兴趣的不妨CLICK一CLICK：
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