eryar

B样条曲线比Bezier曲线更灵活，它的灵活性来自于你对基函数灵活地控制。我将对B样条的各组成部分进行讲解，首先讲一下控制顶点（Control Points）。

Control Points 控制顶点

Bezier曲线的控制顶点对整条曲线都有影响，即改变某一顶点的位置，对整条曲线都有影响，因而Bezier曲线不具有局部修改性。

由于灵活性的缘故，你可以对B样条设置任意数量的控制顶点，也可以确定各控制顶点的影响范围。

Degree and Order 次数和阶数

多项式曲线时，曲线的次数是由多项式中变量指数最高项确定。Bezier曲线时，曲线的次数由控制顶点数N确定，即N个控制顶点的曲线的次数是（N-1）次。基于这一点，我将引入一些新的术语来讨论曲线的次数和阶数，即阶数（Order）由设计值k确定，次数（Degree）则为（k-1）。

B样条把控制顶点数N与曲线的次数和控制顶点影响范围解耦。再抽象点说，曲线上的点只受一些控制顶点的影响，而不是任意控制顶点。或者说每个控制顶点只影响曲线上的一部分点的值。这就有意思啦，因为你对曲线有了局部修改的权力。你可用16个控制顶点定义一条曲线，但是它的阶数为4。如图4.1所示，移动一个控制顶点只会影响曲线上的一部分。若要用Bezier曲线来实现，就只能是把几个Bezier曲线拼接啦。

我已经讲到了术语阶数（Order）、次数（Degree），及控制顶点对曲线区间的影响，但是并没有讲到具体是怎样影响的。使用Bezier曲线时，没有任何的机制来限制影响的区间，因为任意一个控制顶点的改变都会影响到曲线上的每个点。B样条给你更多的控制，正是由于有节点向量（Knot Vectors）的机制。

Knot Vectors 节点向量

节点向量的目的就是描述控制顶点的影响范围。想象一下你想画一个有五个控制顶点的三阶曲线，每个控制顶点只会影响到参数区间上的曲线的一小部分。你可以描述任意一个控制顶点的影响范围为：[t₀, t₃], [t ₁, t₄], [t₂, t₅], [t₃, t₆], [t₄, t₇]。也可以在一个单一序列中紧凑的写成：[t₀ t₁ t₂ t₃ t₄ t₅ t₆ t₇]。这就是节点向量。图4.3所示为正式地表示了节点向量的影响范围：

还可以从本例中推出几个更普遍的结论。首先，一个节点向量必须有N+k个元素；其次，节点向量必须是单调递增的。即每个节点向量的元素必须比前一个大或相等。单调递增的区间可以是任意的，当然也可以是[0，1]。下面是三个节点向量的例子。注意第二个节点向量和第三个在功能上相同，即用它们将会生成相同的曲线：

[X] = [3 4 5 6 7 8]

[X] = [1 2 3 4 5 6 7 8]

[X] = [0.125 0.25 0.375 0.5 0.625 0.75 0.875 1.0]

本书中大部分情况下将会使用整型的节点向量值，如第二种，因为这样解释起来要简单些。而在程序代码中，我将使用单位化后的节点向量，因为当参数区间为[0，1]时，考虑不同的范围要简单些。这两种情况产生的曲线没什么不同。

通常喜欢按节点向量是否均匀分布把节点向量分为均匀节点向量和非均匀节点向量。各举例如下：

• [X] = [1 2 3 4 5 6] (uniform)

• [X] = [1 3 5 7 9 11] (uniform)

• [X] = [1 2 2 3 3 4] (nonuniform)

• [X] = [1 2 3 3 4 5] (nonuniform)

节点向量还有两种类型：开放（Open）和周期性的（Periodic）。

至此为止，你已经知道创建B样条曲线的所有内容，除了B样条的基函数。知道一系列控制顶点可以用来定义曲线；知道可以用阶数及其相应的次数来描述曲线的属性；知道节点向量的机制，控制顶点是怎样来影响曲线的。你还需要一个基本的部分，即把上面所有组合在一起来画些东西，这就是基函数（the Basis Function）。

B样条基函数 B-Spline Basis Functions

在第三章讲Bezier曲线时，生活要简单的多。Bezier曲线的Bernstein基函数只是控制顶点的函数。现在，有了更多的灵活性，但是需要关注的就更多。（能力越大，责任越大。）除了控制顶点以外，B样条基函数还需要解释曲线的次数，还有由节点矢量定义的区间。这个基函数不是由Bernstein多项式定义的，而是由Cox-de Boor递归公式定义的。这个著名的递推公式的发现是B样条理论的最重要的进展。

[eryar:个人认为公式中第一个下标i是控制顶点的序号，第二个下标是阶数。]

B样条基的性质：

1. 递推性。由递推公式可以表明；
2. 局部支承性。局部支承性表明B样条基是定义在整个参数轴上，但仅在支承区间上有大于零的值，在这个区间外均为零。B样条由其支承区间内的所有节点决定。
3. 规范性。

    

4. 可微性。在节点区间内部是无限次可微的。

递推公式的几何意义可以归结为：移位、升阶、线性组合。

这些公式初看起来很吓人，其实不然，只要你理解它们都是做什么用的。画Bezier曲线时，可以根据Bernstein基函数很容易就推出一个基函数。现在必须根据阶数来递推去找到基函数。从一阶基函数开始推导，因为便于图示和举例。

想像一下我想用四个控制顶点画一个四阶三次曲线，我选择节点矢量为[X] = [0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1]。在继续后面内容之前，用图4.3中的术语来考虑一下这个节点矢量。这个节点矢量让每个控制顶点的改变都会影响到整条曲线，听起来很耳熟？

根据递推公式，一阶（零次）B样条的结果为（此时阶数k=4，节点矢量为：[0 0 0 0 1 1 1 1].）：

基函数的图像为：

将两个一阶B样条代入公式即可得到二阶B样条基函数。推导出方程为：

图形显示为：

重复这几步可以得到三阶、四阶B样条基函数的方程和图形，如下所示：

四阶B样条基函数就是四阶、三次曲线所需要的基函数。这些基函数画在一起在图4.7中，看起来是不是有点眼熟？

正如你所看到的，这些基函数和第三章中的Bernstein基函数一模一样。在第三章中我也提到过，Bezier曲线可以认为是B样条曲线的一个特例，这里就是证明。通过合适的节点矢量和次数，你可以把Bezier曲线看成是更通用的B样条曲线的特例。这里的节点矢量选择的为每个控制顶点的改变都会影响到整条曲线，次数也是匹配Bezier曲线的次数而设置的。我将在讲述不同类型的节点矢量时详谈。

上面那些概念都是B样条曲线的重要组成部分，还有一个更重的部分。

B样条曲线方程 The B-Spline Curve Equation

你已经有了一系列的基函数及怎么确定曲线的次数。如下方程所示为B样条曲线方程。

这个方程和Bezier曲线的方程非常相似。这里基函数的序列主要用来确定曲线的次数，基函数用参数t定义了每个控制顶点的影响区间。只要有了相应的基函数，曲线上的点就可以简单的表示为所有的控制顶点在给定参数值t处的权重的总和。只是现在有些控制顶点的权重可能是0。

目前为止，你已经有了画出B样条曲线的所有基础知识。我也遗露了很多细节，最重要的细节是节点矢量部分。既然已经掌握了所有基础知识点，现在回去讲解一下细节。