《编程之美》读书笔记04： 1.8 小飞的电梯调度算法
假设电梯有n层，上楼要消耗能量k1，下楼要消耗能量k2，用a[i]表示要在第i层下的人数，Si为到i层时已经下（包括i层）的总人数，则总人数S=Sn。若用F(i)表示电梯在i层停时要消耗的总能量，则电梯在i+1层停时，有Si人要多下一层，（S-Si）人少上一层。则：
F(i+1) = F(i) + k2*Si - k1*(S-Si) = F(i) + (k2+k1)*Si – k1*S ＝ F(i) + G(i)
（定义G(i) = (k2+k1)*Si – k1*S）
由于Si是递增的，G(i)也是递增的，当G(i) <= 0，F(i+1) <= F(i)，“求使F(i)最小的i”问题等同于 “求使G(i)＝(k2+k1)*Si – k1*S <= 0的最大i值”（所得i值+1即为原问题的解），或 “求使G(i)＝(k2+k1)*Si – k1*S >= 0的最小i值”（所得i值即为原问题的解）。注意：等号可取可不取。
对书上原题：k1=k2=1，G(i)=2*Si – S >= 0，可以扫描数组两遍，第一遍算出S，第二遍算出使 2*Si – S < 0 的最大i值。也可以只扫找一遍，用两个指针分别指向数组的开头和结尾，一个向前移动，一个向后移动，并同时开始计算最前几个数的和S2, i和最后几个数的和Sj, n，通过调整两个指针位置，使S2, i<= Sj, n总成立并使i尽可能的大，这样扫描完毕，
2*S2, i <= S2, i + Si+1, n = S，且 2*S2, i+1 >= S。
（书中解法二的分析与给出的代码不对应，只有证明“使N1 + N2 >= N3成立的第一个i值就是全局最优解”，才能保证给出的代码的正确性。）
程序代码
1
//arr[i] 为在第i层要下的人数，因而i>=2;
2int lift(int *arr, unsigned sz, int& total)
3
{
4
assert(sz>=3);
5 int i, sum=0, count=0;
6 total=0;
7
for (i=2; i<sz; i++){
8 sum += arr[i];
9 total += arr[i]*i;
10
}
11 total = total - sum * 2;
12 for ( i=2; ; i++){
13 count += arr[i] * 2;
14 if ( count >= sum ) break;
15 total += count - sum;
16 }
17 return i;
18
}
19
20
21
22//arr[i] 为在第i层要下的人数，因而i>=2;
23
24int lift2(int *arr, unsigned sz, int& total)
25{
26 assert(sz>=3);
27 int *low=arr+2, *high=arr+sz-1;
28 int sum_a=0, sum_b=0, sum_ta=0, sum_tb=0;
29 while (low <= high){
30 if (sum_a <= sum_b){
31 sum_a += *low++;
32 sum_ta += sum_a;
33 } else{
34 sum_b += *high--;
35 sum_tb += sum_b;
36 }
37 }
38 --low;
39//电梯所停的那层始终被计算了,要扣除
40 if (sum_a >= sum_b){
41 sum_ta -= sum_a;
42 } else{
43 ++low;
44sum_tb -= sum_b;
45 }
46
47 total = sum_ta + sum_tb;
48 return low - arr;
49}
50