http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1210

开始寻找规律，找了好久想不出，最终想到了追踪第一张牌来进行求解！O(∩_∩)O~


虽然做时不知道为什么！但是事后我在网上搜到了证明方法！

洗牌问题：
很多人都是跟踪第一张牌来完成的，大家会不会证明呢？

定理1：当第一张牌(牌1)回到初始位置时，所有的牌都回到了初始位置。

证明：设有一次操作，某牌在操作前处于位置r(1<=r<=2*N)，那么，操作后，如果r原来是前一半的，显然r'=r*2; 否则，r'=(r-n)*2-1，即r'='r*2-(N*2+1);
将两个式子综合，可以得到r'= (r*2)%(N*2+1);
根据同余定理之一 ((i%m)*j)%m=(i*j)%M，可以整理出公式：i次操作后，该牌的位置为：
(r*(2^i))%(N*2+1);其中^表示乘方。
现在，我们假设经过M次操作后，牌1回到了初始位置，即(1*(2^M))%(N*2+1)=1时，再次应用同余定理，可以证明对于任意的k(1<=k<=2*N)，有(k*(2^M))%(N*2+1)=k，翻译成自然语言就是：当第一张牌回到初始位置时，所有的牌都回到了初始位置。命题得证。

定理2：一定存在某次操作M，这次操作后，所有的牌都回到了初始位置。
证明：我们已经证明了牌1回到初始位置时，所有的牌都回到初始位置，所以我们只需要证明牌1可以回到初始位置，即(2^M)%(N*2+1)=1一定有正整数解。证明这个定理前我们首先证明这样一个定理：
定理2.1：(2*r)%(2*n+1)==t
当t确定为1到2*n中的某值时(1<t<=2*n)，r在1到2*n间有唯一解
因为2*n+1是奇数，我们只要看一下就会发现r到t是一个一一映射，当t为偶数时，显然r=t/2，当t为奇数时，r=(t+1)/2+n，

现在我们来证明定理2。运用反正法，若牌1永远不能回到初始位置，根据鸽笼定理，牌1必然陷入了某个不包含位置1的循环，因为下一状态仅和当前状态有关，当前状态最多只有2*N种，所以显然一定在不超过2*N+1次操作内出现重复状态。而重复状态则意味着循环。
因为我们假设这一循环不包括位置1，我们设f(i)为循环中某状态，f(0)=1,f(n+1)=(f(n)*2)%(2*N+1)，f(j)为若干次循环后出现的重复状态，即f(i)=f(j)。因为循环一直持续，不妨假设j>i+i。又因为循环不包括状态1，即对于任意的k>=i，f(k)!=1
根据定理2.1，我们可以根据当前状态推出上一状态，换句话说，若f(i)=f(j)，则f(i-1)=f(j-1)。继续套用定理2.1，可以得到f(i-i)=f(j-i)，即：f(j-i)=f(0)=1。又有假设j>i+i，即j-i>i，与另一假设对于任意的k>=i，f(k)!=1矛盾。
因此，可以证明，牌1所陷入的循环，必然是包含位置1的，即一定有某次操作，操作后牌1回到了初始状态。而且显然的，初始状态就是这循环中的一个状态。
因此命题得证。