题意描述:
有六种不同价值的珠宝若干,问你能否把这些珠宝分成价值相等的两份。当然,每个珠宝是不能切割的。
非常明显这一题是01背包问题,由于珠宝数量巨大,为了提高程序效率,我们要对同种价值的珠宝进行二进制拆分,这样能够迅速减少珠宝的数量(具体说来珠宝数量会变成O(logN)的数量级,N是原来珠宝的个数),二进制拆分后与原来是等效的,想想二进制数就明白了。
01背包的状态转移方程为:
当v<Ci时
f[i,v]=f[i-1,v];(1)当v>=Ci时
f[i,v]=Max(f[i-1,v],f[i-1,v-Ci]+Wi);(2)//当第i件物品能够放下时,我们可以选择放,或不放,取决于总价值的大小。
其中v为当前背包的中容量,Ci表示第i件物品的体积,Wi表示第i件物品的价值,f[i,v]表示容量为v的背包在考虑前i件物品后的最大价值。
上面的状态转移方程实现起来要开一个大小为I*V的二维数组(I为物品总个数,V为背包的总体积),可是有时候I和V可能很大,我们就需要很大的空间,甚至有可能超出范围,其实在只考虑最终价值不关心到底选了那几件物品时,上面转移方程的空间是可以压缩的。我们看到当考虑物品i时,我们用到的状态只与第i-1件物品有关,因此空间压缩的状态转移方程为:
当v<Ci时
f[v]=f[v];(3)当v>=Ci时
f[v]=Max(f[v],f[v-Ci]+Wi);(4)利用(4)的时候求解顺序很重要,要按v从大到小求,这样才能保证前面的状态不被覆盖。
这里说一下二进制拆分
假设原来某一种类的珠宝数量为N,我们可以把N拆成1,2,4,8,……,2^(k-1),N-2^k+1。这些拆分成的数字能够表示1~N之间的任何一个数。
这样,我们就把物品数减小为logN(以2为底,向上取整)。
以下是本题代码:
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#define LEN 60010
#define LENMB 100
typedef struct
{
int v;
int amt;
}Marble;
int Max(int a, int b)
{
if(a > b)
return a;
return b;
}
Marble mb[LENMB];
int f[LEN];
int count;
int main()
{
int i, j, k;
int C[7];
int seq = 0;
scanf("%d%d%d%d%d%d", &C[1], &C[2], &C[3], &C[4], &C[5], &C[6]);
while(C[1] + C[2] + C[3] + C[4] + C[5] + C[6] != 0)
{
count = 1;
for(i = 1; i <= 6; i++)//二进制拆分
{
int M = C[i];
k = 1;
while(M - k > 0)
{
mb[count].v = i;
mb[count++].amt = k;
M -= k;
k *= 2;
}
if(M != 0)
{
mb[count].v = i;
mb[count++].amt = M;
}
}
int aimv = 0;
for(i = 1; i <= 6; i++)
aimv += C[i] * i;
int gard = 0;
if(aimv % 2 == 0)
{
aimv /= 2;
memset(f, 0, sizeof(f));
for(i = 1; i < count; i++)//背包求解过程
{
int allv = mb[i].amt * mb[i].v;
for(j = aimv; j >= allv; j--)
f[j] = Max(f[j], f[j - allv] + allv);
}
if(f[aimv] == aimv)
gard = 1;
}
if(seq++ != 0)
putchar(10);
if(gard == 0)
{
printf("Collection #%d:\n", seq);
printf("Can't be divided.\n");
}
else
{
printf("Collection #%d:\n", seq);
printf("Can be divided.\n");
}
scanf("%d%d%d%d%d%d", &C[1], &C[2], &C[3], &C[4], &C[5], &C[6]);
}
//system("pause");
}
posted on 2012-08-14 16:32
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