求数组中最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence, LIS）
LIS问题是算法中的经典题目，传统的解法是使用动态规划，时间复杂度是O(n^2)；改进的方法时间复杂度是O(nlogn)。但是关于改进的算法的介绍尽管网上有很多资源，但是有许多看起来没问题，但是经不起推敲，我看的时候感觉有点看不明白，查阅半天弄懂后再回去看，发现他们的表述有问题，因此总结一下。
这篇总结使用从传统解法逐步改进的演绎方法，并给出一些推理。
如果读者不喜欢这种演绎思考方法，推荐Slyar的方法，他从另一个角度看待这个问题，写得十分简洁，但是没有接触过的话，可能不易理解。
本文仍有许多不足，欢迎指正。
传统的解法是使用动态规划。原理如下：
data[i]表示数组中的第i个元素；
lis[i]表示以元素i结尾的最长递增子序列长度；
那么lis[i] = max(lis[j]) + 1, j ∈{k | data[k] < data[i], k < i}
时间复杂度是O(n^2)，它的主要优点是算法简单，可以构造最长递增子序列。
int lis[N];
int LIS_DP(int* data, int n)
{
memset(lis, 1, n * sizeof(lis[0]));
for(int i=1; i != n; ++i)
{
for(int j=0; j != i; ++j)
{
if(data[i] > data[j] && lis[i] < lis[j]+1)
lis[i] = lis[j] + 1;
}
}
int max = 0;
for(int i=0; i != n; ++i)
if(max < lis[i])
max = lis[i];
return max;
}
另一种方法稍微有些复杂，它是针对上面方法的一种改进，时间复杂度是O(nlogn)。下面使用渐近的方法来分析获得。
首先我们来分析一下上面算法的不足，在上面的求解中，每个lis[i]求解的时间复杂度是O(n)，但这不是必需的
0 1 2 3 4 5 6 7
data[]: 2 5 6 2 3 4 7 4
lis[]: 1 2 3 1 2 3 4 3
例如，当求lis[6]时，是不用和data[3]、data[4]比较的，因为已经知道它们所在的最大递增子序列的最后一个元素data[5] < data[6]；也就是说，当我们考察第i个元素时，对前面i-1个元素的任何一个递增子序列，如果这个子序列的最后一个元素比data[i]小，那么就可以将data[i]加在这个子序列后面，构成一个新的更长的递增子序列，而不用比较这个子序列前面的元素和data[i]的关系。
由此我们得出第一个启发式方法，当计算lis[i]时，我们只关心每个前i-1元素中递增子序列的最后一个元素的值。
针对第一种方法引入的观点，提出第二个启发式方法，同样求lis[6]，对前i-1个元素，获得两个长度为3的递增子序列2、5、6和2、3、4，此时已知data[6] > 6且data[6]大于4，所以data[6]可以接在任何一个子序列后面，构成长度为4的新递增序列。这个时候，会发现一个启发方法，data[6]不用和6比较，因为只需data[6]大于4就可以得出一个长度为4的递增序列。
所以得出第二个启发式方法，当计算lis[i]时，对同样长度的子序列，我们只关心它们最后元素的值最小的一个的值。
由此，由一个数组last_min记录上面的值，即当计算lis[i]时，last_min[k]表示前i-1个元素中长度为k的所有递增子序列的最后一个元素的最小值。
设max_len表示当前已获得的最长的递增子序列。
当考察data[i]时，如果data[i] > last_min[max_len]，那么将data[i]接在这个序列后面，便构成一个新的长度为max_len+1的序列，该序列的最后一个元素是data[i]；否则，找到一个最大的j，使last_min[j]<data[i]（由于查找方式，也说明data[i]<=last_min[j+1]），那么把data[i]接在这个序列后面，便构成一个长度为j+1的新序列，更新last_min[j+1]。
int lis[N]; // lis[i]表示以元素i结尾的最长递增子序列长度
int last_min[N]; // last_min[i]表示长度为i的所有递增子序列的
// 最后一个元素的最小值
int max_len;
int LIS_DP(int* data, int n)
{
memset(lis, 1, n * sizeof(lis[0]));
last_min[1] = data[0];
max_len = 1;
for(int i=1; i != n; ++i)
{
// 如果data[i]比最长递增序列的最后一个元素大，
// 那么直接加在它后面便可
if (data[i] > last_min[max_len])
{
++max_len;
last_min[max_len] = data[i];
lis[i] = max_len;
}
else
{
// 否则查找历史最长递增序列
for(int j=max_len-1; j != 0; --j)
{
if (data[i] > last_min[j]) // 也就是说，data[i] <= last_min[j+1]
{
lis[i] = j + 1;
last_min[j+1] = data[i]; //更新
break;
}
}
}
}
return max_len;
}
如上所示，虽然已经进行了很大的优化，但是当前的时间复杂度仍是O(n^2)，当然基本可以确定的是，现在的算法比原来的效率提高了很多。
下面我们分析一下last_min数组的性质，
由定义last_min[i]表示长度为i的序列A的最后一个元素的值，last_min[i-1]表示长度为i-1的序列B的最后一个元素的值，那么last_min[i-1]<last[i]；否则序列A的前i-1个元素构成的序列便可替代序列B。所以last_min是有序的。
因此在上面的查找中可以使用二分查找，效率为O(logn)，使得总的复杂度为O(nlogn)。
// 返回arr中等于或第一个大于val的位置
int BinarySearch(int* arr, int left, int right, int val)
{
int mid = 0;
int l = left;
int r = right;
while (l <= r)
{
mid = (l + r) >> 1;
if (arr[mid] > val) r = mid - 1;
else if (arr[mid] < val) l = mid + 1;
else return mid;
}
return l;
}
int last_min[N]; // last_min[i]表示长度为i的所有递增子序列的
// 最后一个元素的最小值
int max_len;
int LIS_DP(int* data, int n)
{
last_min[1] = data[0];
max_len = 1;
for(int i=1; i != n; ++i)
{
// 如果data[i]比最长递增序列的最后一个元素大，
// 那么直接加在它后面便可
if (data[i] > last_min[max_len])
{
++max_len;
last_min[max_len] = data[i];
}
else
{
// 否则查找历史最长递增序列
int j = BinarySearch(last_min, 1, max_len, data[i]);
last_min[j] = data[i];
}
}
return max_len;
}
在程序二中，lis数组完全没有作用，所以在程序三中没有使用。
与程序一相比，程序三在效率上有明显的提升，但是不能根据last_min构造出最长递增子序列。
参考文献
编程之美—微软技术面试心得.2.16节