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矩形边界框
另一种常见的用来界定物体的几何图元是矩形边界框，矩形边界框可以是与轴对齐的或是任意方向的。轴对齐矩形边界框有一个限制，就是它的边必须垂直于坐标轴。缩写AABB常用来表示axially aligned bounding box(轴对齐矩形边界框)，OBB用来表示oriented bounding box(方向矩形边界框)。轴对齐矩形边界框不仅容易创建，而且易于使用。
一个3D的AABB就是一个简单的六面体，每一边都平行于一个坐标平面。矩形边界框不一定是立方体，它的长、宽、高可以彼此不同。在图12.10中，画出了一些简单的3D物体和它们的AABB。
AABB的表达方法
先介绍AABB的一些重要性质和引用这些值时所用到的记法。AABB内的点满足下列等式：
xmin ≤ x ≤ xmax
ymin ≤ y ≤ ymax
zmin ≤ z ≤ zmax
特别重要的两个点为：
pmin = [xmin ymin zmin ]
pmax = [xmax ymax zmax ]
中心点c为：
c = (pmin + pmax) /2
"尺寸向量"s是从pmin指向pmax的向量，包含了矩形边界的长、宽、高：
s = pmax - pmin
还可以求出矩形边界框的"半径向量"r，它是从中心指向pmax的向量：
r = pmax - c = s/2
明确地定义一个AABB只需要pmin、pmax、c、s、r这5个向量中的两个（除s和r不能配对外，它们中的任意两个都可配对）。在一些情况下，某些配对形式比其他的会更有用。我们建议用pmin和pmax表示一个边界框，因为实际应用中，使用它们的频率远高于c、s、r。当然，由pmin和pmax计算其余三个中的任意一个都是很容易的。
在我们的C++代码中，使用下面的类表示AABB，这是一个缩略的代码清单。
#ifndef AABB3_H
#define AABB3_H
#include "vector3.h"
class cMatrix4x3;
//---------------------------------------------------------------------------
// Implement a 3D axially aligned bounding box
//---------------------------------------------------------------------------
class cAABB3
{
public:
cVector3 min, max;
public:
// query for dimentions
cVector3 size() const { return max - min; }
float x_size() { return max.x - min.x; }
float y_size() { return max.y - min.y; }
float z_size() { return max.z - min.z; }
cVector3 center() const { return (min + max) * 0.5f; }
// fetch one of the eight corner points
cVector3 corner(int i) const;
// "Empty" the box, by setting the values to really large/small numbers.
void empty();
// add a point to the box
void add(const cVector3& p);
// add an AABB to the box
void add(const cAABB3& box);
// return true if the box is empty
bool is_empty() const;
// return true if the box contains a point
bool contains(const cVector3& p) const;
// transform the box and compute the new AABB
void set_to_transformed_box(const cAABB3& box, const cMatrix4x3& m);
// return the clostet point on this box to another point
cVector3 clostet_point_to(const cVector3& p) const;
};
#endif
计算AABB
计算一个顶点集合的AABB是非常简单的，先将最小值和最大值设为"正负无穷大"或任何比实际中用到的数都大或小得多的数。接着，遍历全部点，并扩展边界框直到它包含所有点为止。
我们在cAABB类中引入了两个辅助函数，第一个函数负责"清空"AABB：
//---------------------------------------------------------------------------
// "Empty" the box, by setting the values to really large/small numbers.
//---------------------------------------------------------------------------
void cAABB3::empty()
{
const float big_number = 1e37f;
min.x = min.y = min.z = big_number;
max.x = max.y = max.z = -big_number;
}
第二个函数将单个点"
加"到AABB中，并在必要的时候扩展AABB
以包含每个点：
//---------------------------------------------------------------------------
// Add a point to the box
//---------------------------------------------------------------------------
void cAABB3::add(const cVector3& p)
{
// expand the box as necessary to contain the point
if(p.x < min.x) min.x = p.x;
if(p.x > max.x) max.x = p.x;
if(p.y < min.y) min.y = p.y;
if(p.y > max.y) max.y = p.y;
if(p.z < min.z) min.z = p.z;
if(p.z > max.z) max.z = p.z;
}
现在，从一个点集创建矩形边界框，可以使用下面的代码：
Listing 12.1: Computing the AABB for a set of points
// Our list of points
const int n;
Vector3 list[n];
// First, empty the box
AABB3 box;
box.empty();
// Add each point into the box
for (int i = 0 ; i < n ; ++i)
box.add(list[i]);
取得AABB的顶点：
//--------------------------------------------------------------------------------------
// Return one of the 8 corner points. The points are numbered as follows:
//
// 6 7
// ------------------------------
// /| /|
// / | / |
// / | / |
// / | / |
// / | / |
// / | / |
// / | / |
// / | / |
// / | / |
// 2 / | 3 / |
// /----------------------------/ |
// | | | |
// | | | | +Y
// | 4 | | |
// | |-----------------|----------| |
// | / | / 5 |
// | / | / | +Z
// | / | / |
// | / | / | /
// | / | / | /
// | / | / | /
// | / | / | /
// | / | / | /
// | / | / |/
// |/ |/ ----------------- +X
// ------------------------------
// 0 1
//
// Bit 0 selects min.x vs. max.x
// Bit 1 selects min.y vs. max.y
// Bit 2 selects min.z vs. max.z
//--------------------------------------------------------------------------------------
cVector3 cAABB3::corner(int i) const
{
assert(i >= 0 && i <= 7); // make sure index is in range
return cVector3((i & 1) ? max.x : min.x,
(i & 2) ? max.y : min.y,
(i & 4) ? max.z : min.z);
}
其他的相关函数，具体功能详见注释：
//---------------------------------------------------------------------------
// Add an AABB to the box
//---------------------------------------------------------------------------
void cAABB3::add(const cAABB3& box)
{
// expand the box as necessary
if(box.min.x < min.x) min.x = box.min.x;
if(box.min.x > max.x) max.x = box.min.x;
if(box.min.y < min.y) min.y = box.min.y;
if(box.min.y > max.y) max.y = box.min.y;
if(box.min.z < min.z) min.z = box.min.z;
if(box.min.z > max.z) max.z = box.min.z;
}
//---------------------------------------------------------------------------
// Return true if the box is empty
//---------------------------------------------------------------------------
bool cAABB3::is_empty() const
{
// check if we're inverted on any axis
return (min.x > max.x) || (min.y > max.y) || (min.z > max.z);
}
//---------------------------------------------------------------------------
// Return true if the box contains a point
//---------------------------------------------------------------------------
bool cAABB3::contains(const cVector3& p) const
{
// check for overlap on each axis
return (p.x >= min.x) && (p.x <= max.x) &&
(p.y >= min.y) && (p.y <= max.y) &&
(p.z >= min.z) && (p.z <= max.z);
}
//---------------------------------------------------------------------------
// return the closest point on this box to another point
//---------------------------------------------------------------------------
cVector3 cAABB3::clostet_point_to(const cVector3& p) const
{
// "push" p into the box, on each dimension.
cVector3 r;
if(p.x < min.x)
r.x = min.x;
else if(p.x > max.x)
r.x = max.x;
else
r.x = p.x;
if(p.y < min.y)
r.y = min.y;
else if(p.y > max.y)
r.y = max.y;
else
r.y = p.y;
if(p.z < min.z)
r.z = min.z;
else if(p.z > max.z)
r.z = max.z;
else
r.z = p.z;
return r;
}
AABB与边界球
很多情况下，AABB比边界球更适合于做定界球：
（1）计算一个点集的AABB，在编程上更容易实现，并能在较短的时间内完成。计算边界球则困难得多。
（2）对实际世界里的许多物体，AABB提供了一种"更紧凑"的边界。当然，对于某些物体，边界球更好（设想一个本身就是球形的物体）。在极端情况下，AABB的体积可能仅相当于边界球体积的1/2，大部分时候边界球的体积会比矩形框的体积大得多，比较一下电线杆的边界球和AABB就知道了。图12.11所示为不同物体的AABB与边界球的比较。
边界球的根本问题是它的形状只有一个自由度----半径，而AABB却有三个自由度----长、宽、高。因此，它可以调节这些自由度以适应不同物体。对图12.11中的大部分物体，除了右上角的星形体外，AABB都比边界球小。对这颗星，边界球也仅比AABB略小一些。通过图12.11，我们可以注意到AABB对物体的方向很敏感。比较下面两支枪的AABB，图中枪的大小都是相同的，只是方向不同而已；还应注意到在这一情况下边界球大小相同，因为边界球对物体方向不敏感。
变换AABB
当物体在虚拟世界中移动时，它的AABB也需要随之移动。此时我们有两个选择----用变换后的物体来重新计算AABB，或者对AABB做和物体同样的变换。所得到的结果不一定是轴对齐的（如果物体旋转），也不一定是盒状的（如果物体发生了扭曲）。不过，通过"变换后的AABB"进行计算要比通过"经过变换后的物体"计算AABB快得多，因为AABB只有8个顶点。
通过"变换后的AABB"计算不能只是简单地变换8个顶点，也不能通过转换原pmin和pmax来得到新的pmin和pmax ----这样可能会导致xmin > xmax。为了计算新的AABB，必须先变换8个顶点，再从这8个顶点中计算一个新的AABB。
根据变换的不同，这种方法可能使新边界框比原边界框大许多。例如，在2D中，45度的旋转会大大增加边界框的尺寸，如图12.12所示：
比较图12.12中原AABB（灰色框）和新AABB（右边较大的方框），它是通过旋转后的AABB计算的，新AABB几乎是原来的两倍。注意，如果从旋转后的物体而不是通过旋转后的AABB来计算新AABB，它的大小将和原来的AABB相同。
可以利用AABB的结构来加快新的AABB的计算速度，而不必先变换8个顶点，再从这8个顶点中计算新AABB。
让我们简单回顾一下3x3矩阵变换一个3D点的过程：
设原边界框为xmin，xmax，ymin...，新边界框计算将得到x'min，x'max，y'min...。现在我们的任务就是想办法加快计算x'min的速度，换句话说，我们希望找到m11x+m21y+m31z的最小值，其中[x, y, z]是原8个顶点中的任意一个，我们所要做的就是找出这些点经过变换后谁的x坐标最小。看第一个乘积：m11x，为了最小化乘积，必须决定是用xmin还是xmax来代换其中的x。显然，如果m11>0，用xmin能得到最小化乘积；如果m11<0，则用xmax能得到最小化乘积。比较方便的是，不管xmin和xmax中哪个被用来计算xmin，都可以用另外一个来计算xmax。可以对矩阵9个元素中的每个都应用这个计算过程，如下列代码所示：
//---------------------------------------------------------------------------
// Transform the box and compute the new AABB. Remember, this always
// results in an AABB that is at least as big as the origin, and may be
// considerably bigger.
//---------------------------------------------------------------------------
void cAABB3::set_to_transformed_box(const cAABB3& box, const cMatrix4x3& m)
{
// if we're empty, then bail.
if(box.is_empty())
{
empty();
return;
}
// start with the translation portion
min = max = get_translation(m);
// examine each of the 9 matrix elements and compute the new AABB
if(m.m11 > 0.0f)
{
min.x += m.m11 * box.min.x;
max.x += m.m11 * box.max.x;
}
else
{
min.x += m.m11 * box.max.x;
max.x += m.m11 * box.min.x;
}
if(m.m21 > 0.0f)
{
min.x += m.m21 * box.min.y;
max.x += m.m21 * box.max.y;
}
else
{
min.x += m.m21 * box.max.y;
max.x += m.m21 * box.min.y;
}
if(m.m31 > 0.0f)
{
min.x += m.m31 * box.min.z;
max.x += m.m31 * box.max.z;
}
else
{
min.x += m.m31 * box.max.z;
max.x += m.m31 * box.min.z;
}
if(m.m12 > 0.0f)
{
min.y += m.m12 * box.min.x;
max.y += m.m12 * box.max.x;
}
else
{
min.y += m.m12 * box.max.x;
max.y += m.m12 * box.min.x;
}
if(m.m22 > 0.0f)
{
min.y += m.m22 * box.min.y;
max.y += m.m22 * box.max.y;
}
else
{
min.y += m.m22 * box.max.y;
max.y += m.m22 * box.min.y;
}
if(m.m32 > 0.0f)
{
min.y += m.m32 * box.min.z;
max.y += m.m32 * box.max.z;
}
else
{
min.y += m.m32 * box.max.z;
max.y += m.m32 * box.min.z;
}
if(m.m13 > 0.0f)
{
min.z += m.m13 * box.min.x;
max.z += m.m13 * box.max.x;
}
else
{
min.z += m.m13 * box.max.x;
max.z += m.m13 * box.min.x;
}
if(m.m23 > 0.0f)
{
min.z += m.m23 * box.min.y;
max.z += m.m23 * box.max.y;
}
else
{
min.z += m.m23 * box.max.y;
max.z += m.m23 * box.min.y;
}
if(m.m33 > 0.0f)
{
min.z += m.m33 * box.min.z;
max.z += m.m33 * box.max.z;
}
else
{
min.z += m.m33 * box.max.z;
max.z += m.m33 * box.min.z;
}
}