原文地址: http://blog.csdn.net/gfaiswl/article/details/4749713

1.问题定义

      TSP问题（旅行商问题）是指旅行家要旅行n个城市，要求各个城市经历且仅经历一次然后回到出发城市，并要求所走的路程最短。

      假设现在有四个城市，0,1,2,3，他们之间的代价如图一，可以存成二维表的形式

                      图一                                                                                               

        现在要从城市0出发，最后又回到0，期间1，2，3都必须并且只能经过一次，使代价最小。

2.动态规划可行性

        设s, s1, s2, …, sp, s是从s出发的一条路径长度最短的简单回路，假设从s到下一个城市s1已经求出，则问题转化为求从s1到s的最短路径，显然s1, s2, …, sp, s一定构成一条从s1到s的最短路径，所以TSP问题是构成最优子结构性质的，用动态规划来求解也是合理的。

3.推导动态规划方程

        假设从顶点s出发，令d(i, V’)表示从顶点i出发经过V’(是一个点的集合)中各个顶点一次且仅一次，最后回到出发点s的最短路径长度。

        推导：(分情况来讨论)

        ①当V’为空集，那么d(i, V’)，表示从i不经过任何点就回到s了，如上图的 城市3->城市0(0为起点城市)。此时d(i, V’)=Cis(就是 城市i 到 城市s 的距离)、

        ②如果V’不为空，那么就是对子问题的最优求解。你必须在V’这个城市集合中，尝试每一个，并求出最优解。

           d(i, V’)=min{Cik +  d(k, V’-{k})}

           注：Cik表示你选择的城市和城市i的距离，d(k, V’-{k})是一个子问题。

        综上所述，TSP问题的动态规划方程就出来了：

4.实例分析

     现在对问题定义中的例子来说明TSP的求解过程。(假设出发城市是 0城市)

    ①我们要求的最终结果是d(0,{1,2,3}),它表示，从城市0开始，经过{1,2,3}之中的城市并且只有一次，求出最短路径.

    ②d(0,{1,2,3})是不能一下子求出来的，那么他的值是怎么得出的呢？看上图的第二层，第二层表明了d(0,{1,2,3})所需依赖的值。那么得出：

       d(0,{1,2,3})=min  {

                                    C01+d(1,{2,3})

                                    C02+d{2,{1,3}}

                                    C03+d{3,{1,2}}

                                  }

     ③d(1,{2,3})，d(2,{1,3})，d(3,{1,2})同样也不是一步就能求出来的，它们的解一样需要有依赖，就比如说d(1,{2,3})

       d(1,{2,3})=min{

                              C12+d(2,{3})                             

                              C13+d(3,{2})

                              }

       d(2,{1,3})，d(3,{1,2})同样需要这么求。

    ④按照上面的思路，只有最后一层的，当当V’为空集时，Cis的值才可以求，它的值是直接从

这张表里求得的。

     5.编程思路

        将d(i, V’)转换成二维表，d[i][j]

        在程序中模拟填表的过程，主要要考虑到j这个参数的表示，它要代表一个集合，可以用二维数组来表示。

   6.源代码

注：由于本人水平有限，并且主要在这里是体现思路，所以程序并不是很完善，代码质量也不高，很地方可以写得通用一些，所以这里只是提供一个参考，程序的进一步完善，由读者自由发挥。

#include 
#include

int IsIncluded(int x,int array[3])//x是否包含在数组中 
{ 
    if((array[0] != x) && (array[1] != x) && (array[2] != x)) 
        return 0; 
    return 1; 
} 
int Left(int k,int array[3],int V[8][3])//实现V'-{k} 的下标检索 
{ 
    int i = 0,index = 0,array_0_count = 0,array_1_count = 0,array_2_count = 0,array_3_count = 0; 
    int V_0_count = 0,V_1_count = 0,V_2_count = 0,V_3_count = 0; 
    int temp[3]; 
    for(i = 0; i < 3; i++) 
        temp[i] = array[i]; 
    for(i = 0; i < 3; i++) 
        if(temp[i] == k) 
            temp[i] = 0;  //相当于去掉k这个城市 
    for(i = 0; i < 3; i++) 
    { 
        if(temp[i] == 0) 
            array_0_count++; 
        else if(temp[i] == 1) 
            array_1_count++; 
        else if(temp[i] == 2) 
            array_2_count++; 
        else 
            array_3_count++; 
    } 
    for(index = 0; index < 8; index++) 
    { 
        for(i=0; i < 3; i++) 
        { 
            if(V[index][i] == 0) 
                V_0_count++; 
            else if(V[index][i] == 1) 
                V_1_count++; 
            else if(V[index][i] == 2) 
                V_2_count++; 
            else 
                V_3_count++; 
        } 
        if((array_0_count == V_0_count) && (array_1_count == V_1_count) 
            && (array_2_count == V_2_count) && (array_3_count == V_3_count)) 
            return index; 
        V_0_count = 0; 
        V_1_count = 0; 
        V_2_count = 0; 
        V_3_count = 0; 
    } 
    return 0; 
}

void TSP(int d[4][8],int c[4][4],int V[8][3],int n) 
{ 
    int i = 0,j = 0,k = 0;

    for(i = 1; i < n; i++)//V'为空时，给赋值， 
        d[i][0] = c[i][0];

    for(j = 1; j < 7; j++)//按列遍历不同集合，{1},{2},{3},{1,2},{1,3}..... 
    { 
        for(i = 1; i < n; i++)//遍历城市1，2，3 
        { 
            if( !IsIncluded(i,V[j]) )//i必须不在集合中，否则就属于经过两次，不符合题意 
            { 
                for(k = 0; k < 3; k++)//分别试探集合中的每一点，取最小值 
                { 
                    if((V[j][k] != 0) && ((c[i][V[j][k]] + d[V[j][k]][Left(V[j][k],V[j],V)]) < d[i][j])) 
                        d[i][j] = c[i][V[j][k]] + d[V[j][k]][Left(V[j][k],V[j],V)]; 
                } 
            } 
        }//end of     for(i = 1; i < n; i++)//遍历城市1，2，3 
    }//end of for(j = 1; j < ((int)pow(2,n)-1); j++) 
    for(k = 0; k < 3; k++)//分别试探下一步为集合中的任何一点，取最小值 
    { 
        if((V[7][k] != 0) && (c[0][V[7][k]] + d[V[7][k]][Left(V[7][k],V[7],V)]) < d[0][7]) 
            d[0][7] = c[0][V[7][k]] + d[V[7][k]][Left(V[7][k],V[7],V)]; 
    } 
} 
void main() 
{ 
    int V[8][3]= 
    { 
        0,0,0, 
        0,0,1, 
        0,0,2, 
        0,0,3, 
        0,1,2, 
        0,1,3, 
        0,2,3, 
        1,2,3 
    }; 
    int c[4][4]= 
    { 
        0,3,6,7, 
        5,0,2,3, 
        6,4,0,2, 
        3,7,5,0 
    }; 
    int d[4][8]={0},i=0,j=0;

    for(i=0; i<4; i++) 
        for(j=0; j<8; j++) 
            d[i][j]=1000;   //假设1000为无穷大 
    TSP(d,c,V,4); 
    printf("The least road is:%d/n",d[0][7]); 
}