Posted on 2013-05-20 22:55
鑫龙 阅读(3985)
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数据结构与算法
题目：
已知一个函数rand7()能够生成1-7的随机数，请给出一个函数，该函数能够生成1-10的随机数。
思路：
假如已知一个函数能够生成1-49的随机数，那么如何以此生成1-10的随机数呢？
解法：
该解法基于一种叫做拒绝采样的方法。主要思想是只要产生一个目标范围内的随机数，则直接返回。如果产生的随机数不在目标范围内，则丢弃该值，重新取样。由于目标范围内的数字被选中的概率相等，这样一个均匀的分布生成了。
显然rand7至少需要执行2次，否则产生不了1-10的数字。通过运行rand7两次，可以生成1-49的整数，
1 2 3 4 5 6 7 1 1 2 3 4 5 6 7 2 8 9 10 1 2 3 4 3 5 6 7 8 9 10 1 4 2 3 4 5 6 7 8 5 9 10 1 2 3 4 5 6 6 7 8 9 10 * * 7 * * * * * * *
由于49不是10的倍数，所以我们需要丢弃一些值，我们想要的数字范围为1-40，不在此范围则丢弃并重新取样。代码：
- int rand10() {
- int row, col, idx;
- do {
- row = rand7();
- col = rand7();
- idx = col + (row-1)*7;
- } while (idx > 40);
- return 1 + (idx-1)%10;
- }
E(# calls to rand7) = 2 * (40/49) + 4 * (9/49) * (40/49) + 6 * (9/49)2 * (40/49) + ... ∞ = ∑ 2k * (9/49)k-1 * (40/49) k=1 = (80/49) / (1 - 9/49)2 = 2.45
优化：上面的方法大概需要2.45次调用rand7函数才能得到1个1-10范围的数，下面可以进行再度优化。
对于大于40的数，我们不必马上丢弃，可以对41-49的数减去40可得到1-9的随机数，而rand7可生成1-7的随机数，这样可以生成1-63的随机数。对于1-60我们可以直接返回，而61-63则丢弃，这样需要丢弃的数只有3个，相比前面的9个，效率有所提高。而对于61-63的数，减去60后为1-3，rand7产生1-7，这样可以再度利用产生1-21的数，对于1-20我们则直接返回，对于21则丢弃。这时，丢弃的数就只有1个了，优化又进一步。当然这里面对rand7的调用次数也是增加了的。代码如下：
- int rand10Imp() {
- int a, b, idx;
- while (true) {
- a = rand7();
- b = rand7();
- idx = b + (a-1)*7;
- if (idx <= 40)
- return 1 + (idx-1)%10;
- a = idx-40;
- b = rand7();
- // get uniform dist from 1 - 63
- idx = b + (a-1)*7;
- if (idx <= 60)
- return 1 + (idx-1)%10;
- a = idx-60;
- b = rand7();
- // get uniform dist from 1-21
- idx = b + (a-1)*7;
- if (idx <= 20)
- return 1 + (idx-1)%10;
- }
- }
E(# calls to rand7) = 2 * (40/49) + 3 * (9/49) * (60/63) + 4 * (9/49) * (3/63) * (20/21) + (9/49) * (3/63) * (1/21) * [ 6 * (40/49) + 7 * (9/49) * (60/63) + 8 * (9/49) * (3/63) * (20/21) ] + ((9/49) * (3/63) * (1/21))2 * [ 10 * (40/49) + 11 * (9/49) * (60/63) + 12 * (9/49) * (3/63) * (20/21) ] + ... = 2.2123
这里期望次数为2.21，比起未优化的2.45次减少了大概10%。