质数的定义
一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，又称素数。
在上文 《素数算法大全，及C程序实现优化详解 (一) 试除法》中我们已经探讨了求解素数的一类算法，并且将试除法从最初的低效版本优化的高效的V2。那么，还有没有其它更佳算法呢？这就是下面三藏要和大家探讨的内容
合数过滤筛选法
算法描述：我们知道，素数N不能被2~(N-1)间的任何数整除；反过来看，只要能被2~(N-1)间的任何数整除的N，都不是素数。所以我们可以采用一个简单的排除法：就是对N以内的所有数，只要逐个去除值为2~(N-1)的倍数的数，剩下的就是素数。
C语言实现
// 合数过滤筛选法 Ver1
// 参数：n 求解n以内(包括n)的素数
// 返回值：n以内素数个数
int CompositeNumFilterV1(int n)
{
int i, j;
// 素数数量统计
int count = 0;
// 分配素数标记空间，结合后文思考为何+1
char* flag = (char*)malloc( n+1 );
// 初始化素数标记
for (i=2; i<=n; i++)
{
// 为什么*(p+i)要写成flag[i]呢？可读性更佳尔
flag[i] = 1;
}
// 写程序要注意排版和留空，方便阅读，也可减少出错几率
// 以2~(N-1)为因子过滤合数
for (i=2; i < n; i++)
{
for (j=2; i*j <= n; j++)
{
// i*j是由i,j两整数相乘而得，显然不是素数
flag[i*j] = 0;
}
}
// 统计素数个数
for (i=2; i<=n; i++)
{
// 其实if(flag)就其同样作用了，但这么写是有留言的
// 请参阅《C语言程序设计常见错误剖析及解决之道》一文
if (1 == flag[i]) count++;
}
// 因输出费时，且和算法核心相关不大，故略
// 释放内存，别忘了传说中的内存泄漏
free(flag);
return count;
}
在上文给出的main函数中以不同参数调用CompositeNumFilterV1函数，得到执行结果如下：
[100000]以内素数个数：9592, 计算用时：15毫秒
[1000000]以内素数个数：78498, 计算用时：125毫秒
[5000000]以内素数个数：348513, 计算用时：2578毫秒
[10000000]以内素数个数：664579, 计算用时：6281毫秒
注：因程序是非独占性运行的，所以时间不是完全精确的，但基本能反映实情
显然，比上文中的试除法要快，而且谁都可以看到上例是一个未经优化的粗陋版本，好多地方是三藏故意采用比较低效做法，为了与后文的优化版比较，凸显优化之重要，也为了初学者记住别采用类似低效做法，下面我们开始优化之旅
优化分析
上面CompositeNumFilterV1函数存在的问题有：
- 在外层循环，需要一直执行到n-1吗？不要，因为n/2~n-1间的数显然不能整出n
- 在内层循环中重复使用i*j显然是低效的，考虑到计算机中加减运算速度比乘除快，可以考虑变乘法为加法
- 在循环修改flag过程中，其实有很多数会被重复计算若干次，比如6=2*3=3*2，会被重复置0，类似操作很多，所以我们得设法避免或减少flag重复置0
据上述分析，我们可将程序优化如下：
// 合数过滤筛选法 Ver2
// 参数：n 求解n以内(包括n)的素数
// 返回值：n以内素数个数
int CompositeNumFilterV2(int n)
{
int i, j;
// 素数数量统计
int count = 0;
// 分配素数标记空间，明白+1原因了吧，因为浪费了一个flag[0]
char* flag = (char*)malloc( n+1 );
// 初始化素数标记，要高效点咯
flag[2] = 1;
// 注意是i<n不是上例中的i<=n了，理由自思
for (i=3; i<n; i++)
{
flag[i++] = 1;
// 偶数自然不是素数，直接置0好了
flag[i] = 0;
}
// n为奇数
if (n%2 != 0)
{
flag[n] = 1;
}
// 从3开始filter，因为2的倍数早在初始化时代就干掉了
// 到n/2止的理由还要说吗
for (i=3; i <= n/2; i++)
{
// i是合数，请歇着吧，因为您的工作早有您的质因子代劳了
if (0 == flag[i]) continue;
// 从i的2倍开始过滤，变乘法为加法
for (j=i+i; j <= n; j+=i)
{
flag[j] = 0;
}
}
// 统计素数个数
for (i=2; i<=n; i++)
{
if (flag[i]) count++;
}
// 因输出费时，且和算法核心相关不大，故略
// 释放内存，别忘了传说中的内存泄漏
free(flag);
return count;
}
再来调用CompositeNumFilterV2得到执行结果：
[100000]以内素数个数：9592, 计算用时：n太小，时间精度不够
[1000000]以内素数个数：78498, 计算用时：31毫秒
[5000000]以内素数个数：348513, 计算用时：453毫秒
[10000000]以内素数个数：664579, 计算用时：1062毫秒
[100000000]以内素数个数：5761455, 计算用时：12973毫秒
哇哇，比昨天的试除发快了好多倍，可见算法的威力，值得好好学习，别说学算法没用咯。
上例着那个计算一亿以内的素数只要约13秒，应该算不错了，今天是否可以休息了呢？No，我们要追求极限！
int CompositeNumFilterV3(int n)
{
int i, j;
// 素数数量统计
int count = 0;
// 分配素数标记空间，明白+1原因了吧，因为浪费了一个flag[0]
char* flag = (char*)malloc( n+1 );
// 干嘛用的，请仔细研究下文
int mpLen = 2*3*5*7*11*13;
char magicPattern[mpLen];
// 奇怪的代码，why，思考无法代劳，想！
for (i=0; i<mpLen; i++)
{
magicPattern[i++] = 1;
magicPattern[i++] = 0;
magicPattern[i++] = 0;
magicPattern[i++] = 0;
magicPattern[i++] = 1;
magicPattern[i] = 0;
}
for (i=4; i<=mpLen; i+=5)
magicPattern[i] = 0;
for (i=6; i<=mpLen; i+=7)
magicPattern[i] = 0;
for (i=10; i<=mpLen; i+=11)
magicPattern[i] = 0;
for (i=12; i<=mpLen; i+=13)
magicPattern[i] = 0;
// 新的初始化方法,将2,3,5,7,11,13的倍数全干掉
// 而且采用memcpy以mpLen长的magicPattern来批量处理
int remainder = n%mpLen;
char* p = flag+1;
char* pstop = p+n-remainder;
while (p < pstop)
{
memcpy(p, magicPattern, mpLen);
p += mpLen;
}
if (remainder > 0)
{
memcpy(p, magicPattern, remainder);
}
flag[2] = 1;
flag[3] = 1;
flag[5] = 1;
flag[7] = 1;
flag[11] = 1;
flag[13] = 1;
// 从17开始filter，因为2,3,5,7,11,13的倍数早被kill了
// 到n/13止的，哈哈，少了好多吧
int stop = n/13;
for (i=17; i <= stop; i++)
{
// i是合数，请歇着吧，因为您的工作早有您的质因子代劳了
if (0 == flag[i]) continue;
// 从i的17倍开始过滤
int step = i*2;
for (j=i*17; j <= n; j+=step)
{
flag[j] = 0;
}
}
// 统计素数个数
for (i=2; i<=n; i++)
{
if (flag[i]) count++;
}
// 因输出费时，且和算法核心相关不大，故略
// 释放内存，别忘了传说中的内存泄漏
free(flag);
return count;
}
再看CompositeNumFilterV3执行结果：
[1000000]以内素数个数：78498, 计算用时：15毫秒
[5000000]以内素数个数：348513, 计算用时：203毫秒
[10000000]以内素数个数：664579, 计算用时：515毫秒
[100000000]以内素数个数：5761455, 计算用时：6421毫秒
再次优化后速度提升了又一倍左右，三藏不禁有点满足了，睡觉也！