给定顶点座标均是整点（或正方形格点）的简单多边形，皮克定理说明了其面积A和内部格点数目i、边上格点数目b的关系：A = i + b/2 - 1。
证明
因为所有简单多边形都可切割为一个三角形和另一个简单多边形。考虑一个简单多边形P，及跟P有一条共同边的三角形T。若P符合皮克公式，则只要证明P加上T的PT亦符合皮克公式（I），与及三角形符合皮克公式（II），就可根据数学归纳法，对于所有简单多边形皮克公式都是成立的。
多边形
设P和T的共同边上有c个格点。
- P的面积： iP + bP/2 - 1
- T的面积： iT + bT/2 - 1
- PT的面积：
- (iT + iP + c - 2) + (bT- c + 2 + bP - c + 2 ) /2 - 1
- = iPT + bPT/2 - 1
三角形
证明分三部分：证明以下的图形符合皮克定理：
- 所有平行于轴线的矩形；
- 以上述矩形的两条邻边和对角线组成的直角三角形；
- 所有三角形（因为它们都可内接于矩形内，将矩形分割成原三角形和至多3个第二点提到的直角三角形）。
矩形
设矩形R长边短边各有m,n个格点：
- AR = (m-1)(n-1)
- iR = (m-2)(n-2)
- bR = 2(m+n)-4
- iR + bR/2 - 1
- = (m-2)(n-2) + (m+n) - 2 - 1
- = mn - (m + n) +1
- = (m-1)(n-1)
直角三角形
易见两条邻边和对角线组成的两个直角三角形全等，且i,b相等。设其斜边上有c个格点。
- b = m+n+c-3
- i = ((m-2)(n-2) - c + 2)/2
- i + b/2 - 1
- = ((m-2)(n-2) - c + 2)/2 + (m+n+c-3)/2 - 1
- = (m-2)(n-2)/2 + (m+n - 3)/2
- = (m-1)(n-1)/2
一般三角形
推广
- 取格点的组成图形的面积为一单位。在平行四边形格点，皮克定理依然成立。套用于任意三角形格点，皮克定理则是A = 2i + b - 2。
- 对于非简单的多边形P，皮克定理A = i + b/2 - χ(P)，其中χ(P)表示P的欧拉特征数。
- 高维推广：Ehrhart多项式；一维：植树问题。
- 皮克定理和欧拉公式（V-E+F=2）等价。
定理提出者
Georg Alexander Pick，1859年生于维也纳，1943年死于特莱西恩施塔特集中营。
相关书籍
外部连结
en:Pick's theorem fr:Théorème de Pick it:Teorema di Pick pl:Wzór Picka ru:Теорема Пика
posted on 2009-10-06 17:59
wyiu 阅读(140)
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