我承认，这个是水帖....

在绕了半个中国后，终于回到了可爱的南京................

顺便祝大家节日快乐



                     2009年7月初7

     摘要: 登记一个表格,和程序没啥关系,不相关的请忽略.权当冒泡.同轴电缆接头特性:  Connector Name Frequency Range ...  阅读全文

 

1. [笑话]所有进制都是10进制

人有十个手指头，这就奠定了人们常用的技术为10进制系统，数数就是这样：

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12……

要是人一只手只有3个指头，数数就成了这样：

1,2,3,4,5,10,11,12,13,14……

其实还是10进制。

这副漫画描绘的很清楚：

 

 

2. 生活中的进制系统

可是生活中还有好多不一样的进制：

1km = 1000m, 1min = 60sec, 1day = 24hour, 1yard = 3ft, 1ft = 12inch

…………………………………………………………

计算机给我们带来了2进制，仅仅用0和1表示了所有的数，计算机这样数数：

1,10,11,100,101,110,111……

因此可以想想计算机只有两根手指头。

3.不安分的数学家

最不安分的是数学家，总结归纳了各种计数系统的规律，归纳出了一个通用的表达式：

(b_nb_n-1b_n-2…b₃b₂b₁b₀.b_-1b_-2b_-3…)_N = ∑_k=-∞…nb_kN^p  (N为计数的进制，称之为“基”)

当N为正整数的时候，就被称为标准N进制系统，为了保证数值的唯一表示N进制系统每一位的数值都不能超过N。

 

因此就有无数种进制系统产生了。

最著名的要数3进制了。

以前看过一篇文章，说是计数进制使用基为e的进制得到的效率最高（如果存在的话），无奈e为无理数（e＝2.718281828……），取较为接近的整数有出现了两种系统：2进制系统和3进制系统。现在2进制系统在计算机系统种占领了主导地位，但是3进制计算机也曾经被制造过。莫斯科国立大学就生产过Сетунь 70 三进制计算机，有兴趣的参看这里.

 

Сетунь 70 结构图，懂俄文的朋友帮忙翻译下了

如果单单如此还好，不安分的数学家Vittorio Grunwald于1885年首次把N变成了负数[Giornal di Matematiche di Battaglini 23(1885), 203~221, 367]，他还说明了在这样的系统中如何执行四则运算，甚至讨论了如何求根。

一个简单的例子：

(1234567890)₁₀ = (2846648290)_-10

有兴趣的读者可以自行转换。

负进制系统在上世纪30年代以后有了较快的发展，上世纪50年代后期在波兰研制了叫做SKRZAT 1 和 BINEG 的实验性计算机，他们都采用了-2作为算术运算的进制系统。

如果说负进制系统还不能令人惊奇的话，在进制系统总引入复数则又达到了一个新高度。

例如2i进制系统可以产生出一个称为“虚4”的计数系统，它有异常的特性：每一个复数都可以不带符号地用数字0,1,2,3来表示，例如:

(12231)_2i = (9-10i)₁₀

在所有进制系统中，最美妙的应该是平衡三进制。

它是三进制的一种变形，用-1,0,1来表示各个位的权值，(据说Сетунь 70用的就是平衡三进制)它有许多有趣的性质：

a)       通过交换1和-1，就可以得到一个数的相反数

b)       一个数的正负号由他的最高位的非零的数给出

c)       四舍五入运算被简化成了截断运算

另外有个数学难题”Bachet重量问题”就可以通过平衡三进制来解决：

题目如下：现有一个天平，要称出1-N内所有整数重量的东西，最少需要几个砝码，每个砝码的重量是多少？

进制系统最登峰造极的高度是引入了无理进制，具体详情情参考W.Parry的论文[Acta Math. Acad. Sci. Hung. 11 (1960), 401~416]。

另外除了单一进制系统外还可以将计数方法推广为混合进制系统。

最重要的混合进制系统就是阶乘数系，另外我们每天都要面对的时间也是混合进制系统。

[转自http://yueweitang.org/blog/posts/inverse-square-root-algorithm-analysis.html]

下面这个求的函数号称比直接调用sqrt库函数快4倍，来自游戏Quake III的源代码。

float InvSqrt(float x){
    float xhalf = 0.5f * x;
    int i = *(int*)&x;
    i = 0x5f3759df - (i >> 1);
    x = *(float*)&i;
    x = x * (1.5f - xhalf * x * x);
    return x;
}

我们这里分析一下它的原理（指程序的正确性，而不是解释为何快）。

分析程序之前，我们必须解释一下float数据在计算机里的表示方式。一般而言，一个float数据共32个bit，和int数据一样。其中前23位为有效数字，后面接着一个8位数据表示指数，最后一位表示符号，由于这里被开方的数总是大于0，所以我们暂不考虑最后一个符号位。此时

如果我们把计算机内的浮点数看做一个整数，那么

现在开始逐步分析函数。这个函数的主体有四个语句，分别的功能是：

int i = *(int*)&x; 这条语句把转成。

i = 0×5f3759df - (i>>1); 这条语句从计算。

y = *(float*)&i; 这条语句将转换为。

y = y*(1.5f - xhalf*y*y); 这时候的y是近似解；此步就是经典的牛顿迭代法。迭代次数越多越准确。

关键是第二步 i = 0x5f3759df - (i>>1); 这条语句从计算，原理:

令，用和带入之后两边取对数，再利用近似表示，算一算就得到

若取，就是程序里所用的常量0x5f3759df。至于为何选择这个，则应该是曲线拟合实验的结果。

2003年Chris Lomont还写了一篇文章对这些代码进行了分析，有兴趣的读者可以下载阅读。

  明天开始今年的第三次北京之行
祝自己一帆风顺..............

用Python的Lambda运算定义的归并排序算法：
记录如下：

效率很低，
如有更好的算法，请高手赐教

祝大家儿童节快乐！

 

题记：本文为第一篇技术贴
题目：给定一个输入的正整数X，求出X的所有可以被表示为 n(n>=2) 个连续正整数之和的形式：
如：15＝15＝7+8＝4+5+6＝1+2+3+4+5
（该题目可以说是骨灰级的题目了，我做了简单的改变，便于分析）
程序的实现（改方法是我能想到的最简单的一种了,如有更快的，请各位赐教）

程序代码：

可是题目并没有在此结束，
如果计算n的所有表示方式的种类数（记为k(n)），有如下序列(n=1..20)：
1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 1, 2, 3, 2, 2
通过搜索，发现这个序列还有其他的含义：
1. Number of odd divisors of n;
2. Number of ways to write n as difference of two triangular numbers;
3. Number of ways to arrange n identical objects in a trapezoid;
4. Number of sums of sequences of consecutive positive integers including sequences of length 1;
5. Number of factors in the factorization of the Chebyshev polynomial of thee first kind T_n(x);
6. Number of ways to present n as sum of consecutive integers;
7. Number of factors in the factorization of the polynomial x^n+1 over the integers.
其中4就是程序所描述的方式。其描述很特别，尤其是第一个。很惊异其中的关系。
搞了很久也不知道其中的缘由，请各位赐教。

博客第一帖。

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