1. [笑话]所有进制都是10进制

人有十个手指头，这就奠定了人们常用的技术为10进制系统，数数就是这样：

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12……

要是人一只手只有3个指头，数数就成了这样：

1,2,3,4,5,10,11,12,13,14……

其实还是10进制。

这副漫画描绘的很清楚：

 

 

2. 生活中的进制系统

可是生活中还有好多不一样的进制：

1km = 1000m, 1min = 60sec, 1day = 24hour, 1yard = 3ft, 1ft = 12inch

…………………………………………………………

计算机给我们带来了2进制，仅仅用0和1表示了所有的数，计算机这样数数：

1,10,11,100,101,110,111……

因此可以想想计算机只有两根手指头。

3.不安分的数学家

最不安分的是数学家，总结归纳了各种计数系统的规律，归纳出了一个通用的表达式：

(b_nb_n-1b_n-2…b₃b₂b₁b₀.b_-1b_-2b_-3…)_N = ∑_k=-∞…nb_kN^p  (N为计数的进制，称之为“基”)

当N为正整数的时候，就被称为标准N进制系统，为了保证数值的唯一表示N进制系统每一位的数值都不能超过N。

 

因此就有无数种进制系统产生了。

最著名的要数3进制了。

以前看过一篇文章，说是计数进制使用基为e的进制得到的效率最高（如果存在的话），无奈e为无理数（e＝2.718281828……），取较为接近的整数有出现了两种系统：2进制系统和3进制系统。现在2进制系统在计算机系统种占领了主导地位，但是3进制计算机也曾经被制造过。莫斯科国立大学就生产过Сетунь 70 三进制计算机，有兴趣的参看这里.

 

Сетунь 70 结构图，懂俄文的朋友帮忙翻译下了

如果单单如此还好，不安分的数学家Vittorio Grunwald于1885年首次把N变成了负数[Giornal di Matematiche di Battaglini 23(1885), 203~221, 367]，他还说明了在这样的系统中如何执行四则运算，甚至讨论了如何求根。

一个简单的例子：

(1234567890)₁₀ = (2846648290)_-10

有兴趣的读者可以自行转换。

负进制系统在上世纪30年代以后有了较快的发展，上世纪50年代后期在波兰研制了叫做SKRZAT 1 和 BINEG 的实验性计算机，他们都采用了-2作为算术运算的进制系统。

如果说负进制系统还不能令人惊奇的话，在进制系统总引入复数则又达到了一个新高度。

例如2i进制系统可以产生出一个称为“虚4”的计数系统，它有异常的特性：每一个复数都可以不带符号地用数字0,1,2,3来表示，例如:

(12231)_2i = (9-10i)₁₀

在所有进制系统中，最美妙的应该是平衡三进制。

它是三进制的一种变形，用-1,0,1来表示各个位的权值，(据说Сетунь 70用的就是平衡三进制)它有许多有趣的性质：

a)       通过交换1和-1，就可以得到一个数的相反数

b)       一个数的正负号由他的最高位的非零的数给出

c)       四舍五入运算被简化成了截断运算

另外有个数学难题”Bachet重量问题”就可以通过平衡三进制来解决：

题目如下：现有一个天平，要称出1-N内所有整数重量的东西，最少需要几个砝码，每个砝码的重量是多少？

进制系统最登峰造极的高度是引入了无理进制，具体详情情参考W.Parry的论文[Acta Math. Acad. Sci. Hung. 11 (1960), 401~416]。

另外除了单一进制系统外还可以将计数方法推广为混合进制系统。

最重要的混合进制系统就是阶乘数系，另外我们每天都要面对的时间也是混合进制系统。