周知aes有限域同构于系数为F2域一元多项式环的商环，其理想由不可约多项式m(x)=x^8+x^4+x^3+x+1生成，即F2^8≌F2[x]/(m(x))。这次进一步用域扩张的观点分析，可以得知F2[x]/(m(x))正是包涵m(x)零点的扩域，设为K。那么如何理解？
令I=(m(x))，则K=F2[x]/I，理解关键是找出m(x)在K上的零点，以及K怎样包涵F2？
1. 零点为~x。这里用~g(x)表示多项式在K中的陪集，即~g(x)=g(x)+I，所以~x=x+I。把~x代入m(x)，根据商环定义的加乘运算，代换结果为m(x)+I=~m(x)=~0（~0是K的零元）。那么还有吗？比如~(x+a)（a非0），~x^2，代入这些得到的陪集代表不等于m(x)，所以不是零点。因此零点是唯一的一次多项式x之陪集
2. 构造映射σ，把0对到K中的零多项式即~0，1对到K中的常数多项式即~1，且σ(0+1)=~1=~0+~1=σ(0)+σ(1)，σ(0*1)=~0=~0*~1=σ(0)*σ(1)，又依多项式比较法则得~0不等于~1，故σ是单同态，K包涵F2
小结：商群、商环、商域类似模同余之剩余系，理解这些结构的关键是深入理解等价类、陪集，进而可理解正规子群、理想，最后就是商X之类的东西
posted on 2023-09-07 06:39
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