混合线性同余发生器（MLCG）
X
n ≡ αX
n-1 + c mod m 0<X
0, α, c<m，X
0为种子，n=1、2、3...
定理 如果下列3个条件都满足，则 MLCG达到满周期(即周期d=m)
(1) (c, m)=1，即 c、m互素
(2) 对 m的任一素因子p，有α≡1 mod p
(3) 如果4|m，则 α≡1 mod 4
该定理的证明在
参考文献[2]中证明并用到如下两个引理：
引理5 设p为素数，α∈Z+且pα>2，如果 x=1(mod pα)，x≠1(mod pα+1)；则xp=1(mod pα+1)， xp≠1(mod pα+2)
该引理给出了求一个整数的阶的判别方法，是理解MLCG周期等于m的充要条件之关键。
本文阐述为什么p是使x
p=1(mod p
α+1)成立的最小正整数，以及一般情形m=p
w(w≥1)是使x
m=1(mod p
α+w)成立的最小正整数；为什么前提条件是p
α>2。
◆ 先论证不存在一个整数1≤b<p使得x
b=1(mod p
α+1)成立
◆ 再证不存在一个整数1≤b<m使得x
b=1 (mod p
α+w)成立
◆ 为什么前提条件是pα>2
如果pα=2，x=1(mod 2)且x≠1(mod 22)。令x=1+2q，2 ∤ q。有x2=(1+2q)2=1+4q+4q2，注意到q是奇数，则x2=1(mod22)，x2=1(mod23)。故得不到引理的结论
引理6（改写的等价形式） 如果 α=1(mod 4)，则(αm - 1)/(α - 1)=0(mod m) ，m=2w，w>1
其实这里当
α=1(mod 2)且
α≠1(mod 4)，结论也是成立的。比如取
α=3，m=16，则 (3
16 -1)=81
4 -1=(-15)
4 -1=-15×-7×-7 -1=-15×-15 -1=9×-7 -1=0(mod 32)，
即(3
16 -1)/(3-1)=0(mod 16)。但只有当
α=1(mod 4)时，m才是使结论成立的最小正整数。论证如下
参考文献
[1] 现代密码学第4版 杨波
[2] 混合线性同余发生器的周期分析 张广强、张小彩
posted on 2024-03-12 17:30
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