本文将总结一种数据结构：跳跃表。前半部分跳跃表性质和操作的介绍直接摘自《让算法的效率跳起来--浅谈“跳跃表”的相关操作及其应用》上海市华东师范大学第二附属中学 魏冉。之后将附上跳跃表的源代码，以及本人对其的了解。难免有错误之处，希望指正，共同进步。谢谢。
跳跃表（Skip List）是1987年才诞生的一种崭新的数据结构，它在进行查找、插入、删除等操作时的期望时间复杂度均为O(logn),有着近乎替代平衡树的本领。而且最重要的一点，就是它的编程复杂度较同类的AVL树，红黑树等要低得多，这使得其无论是在理解还是在推广性上，都有着十分明显的优势。
首先，我们来看一下跳跃表的结构
跳跃表由多条链构成（S0，S1，S2 ……，Sh），且满足如下三个条件：
每条链必须包含两个特殊元素：+∞ 和 -∞(其实不需要)
S0包含所有的元素，并且所有链中的元素按照升序排列。
每条链中的元素集合必须包含于序数较小的链的元素集合。
操作
一、查找
目的：在跳跃表中查找一个元素x
在跳跃表中查找一个元素x，按照如下几个步骤进行：
1. 从最上层的链（Sh）的开头开始
2. 假设当前位置为p，它向右指向的节点为q（p与q不一定相邻），且q的值为y。将y与x作比较
(1) x=y 输出查询成功及相关信息
(2) x>y 从p向右移动到q的位置
(3) x<y 从p向下移动一格
3. 如果当前位置在最底层的链中（S0），且还要往下移动的话，则输出查询失败
二、插入
目的：向跳跃表中插入一个元素x
首先明确，向跳跃表中插入一个元素，相当于在表中插入一列从S0中某一位置出发向上的连续一段元素。有两个参数需要确定，即插入列的位置以及它的“高度”。
关于插入的位置，我们先利用跳跃表的查找功能，找到比x小的最大的数y。根据跳跃表中所有链均是递增序列的原则，x必然就插在y的后面。
而插入列的“高度”较前者来说显得更加重要，也更加难以确定。由于它的不确定性，使得不同的决策可能会导致截然不同的算法效率。为了使插入数据之后，保持该数据结构进行各种操作均为O(logn)复杂度的性质，我们引入随机化算法（Randomized Algorithms）。
我们定义一个随机决策模块，它的大致内容如下：
产生一个0到1的随机数r r ← random()
如果r小于一个常数p，则执行方案A， if r<p then do A
否则，执行方案B else do B
初始时列高为1。插入元素时，不停地执行随机决策模块。如果要求执行的是A操作，则将列的高度加1，并且继续反复执行随机决策模块。直到第i次，模块要求执行的是B操作，我们结束决策，并向跳跃表中插入一个高度为i的列。
我们来看一个例子：
假设当前我们要插入元素“40”，且在执行了随机决策模块后得到高度为4
步骤一：找到表中比40小的最大的数，确定插入位置
步骤二：插入高度为4的列，并维护跳跃表的结构
三、删除
目的：从跳跃表中删除一个元素x
删除操作分为以下三个步骤：
在跳跃表中查找到这个元素的位置，如果未找到，则退出
将该元素所在整列从表中删除
将多余的“空链”删除
我们来看一下跳跃表的相关复杂度：
空间复杂度： O(n) （期望）
跳跃表高度： O(logn) （期望）
相关操作的时间复杂度：
查找： O(logn) （期望）
插入： O(logn) （期望）
删除： O(logn) （期望）
之所以在每一项后面都加一个“期望”，是因为跳跃表的复杂度分析是基于概率论的。有可能会产生最坏情况，不过这种概率极其微小。
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以下是自己学习时碰到的一些问题
首先分配一个链表，用list.hdr指向，长度为跳跃表规定的最高层，说是链表，在以下代码中只是分配了一段连续的空间，用来指向每一层的开始位置。我们看到结构体nodeType中，有一个key,一个rec(用户数据)，还有一个指向结构体的指针数组。
一开始的那些图容易给人误解。如上图所示，例如每个节点的forward[2]，就认为是跳跃表的第3层。List.hdr的forward[2]指向11，11的forward[2]指向30，30的forward[2]指向53。这就是跳跃表的第3层：11---30-----53。（准确的说每个forward都指向新节点，新节点的同层forward又指向另一个节点，从而构成一个链表，而数据只有一个，并不是像开始途中所画的那样有N个副本）。本人天资愚钝，看了挺长时间才把它在内存里的结构看清楚了，呵呵。
以下是在网上搜到的一个实现代码
代码中主要注释了insert函数，剩下的两个函数差不多，就不一一注释了
/* skip list */
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
/* implementation dependent declarations */
typedef enum {
STATUS_OK,
STATUS_MEM_EXHAUSTED,
STATUS_DUPLICATE_KEY,
STATUS_KEY_NOT_FOUND
} statusEnum;
typedef int keyType; /* type of key */
/* user data stored in tree */
typedef struct {
int stuff; /* optional related data */
} recType;
#define compLT(a,b) (a < b)
#define compEQ(a,b) (a == b)
/* levels range from (0 .. MAXLEVEL) */
#define MAXLEVEL 15
typedef struct nodeTag {
keyType key; /* key used for searching */
recType rec; /* user data */
struct nodeTag *forward[1]; /* skip list forward pointer */
} nodeType;
/* implementation independent declarations */
typedef struct {
nodeType *hdr; /* list Header */
int listLevel; /* current level of list */
} SkipList;
SkipList list; /* skip list information */
#define NIL list.hdr
static int count = 0;
statusEnum insert(keyType key, recType *rec) {
int i, newLevel;
nodeType *update[MAXLEVEL+1];
nodeType *x;
count++;
/***********************************************
* allocate node for data and insert in list *
***********************************************/
/* find where key belongs */
/*从高层一直向下寻找，直到这层指针为NIL，也就是说
后面没有数据了，到头了，并且这个值不再小于要插入的值。
记录这个位置，留着向其后面插入数据*/
x = list.hdr;
for (i = list.listLevel; i >= 0; i--) {
while (x->forward[i] != NIL
&& compLT(x->forward[i]->key, key))
x = x->forward[i];
update[i] = x;
}
/*现在让X指向第0层的X的后一个节点*/
x = x->forward[0];
/*如果相等就不用插入了*/
if (x != NIL && compEQ(x->key, key))
return STATUS_DUPLICATE_KEY;
/*随机的计算要插入的值的最高level*/
for (
newLevel = 0;
rand() < RAND_MAX/2 && newLevel < MAXLEVEL;
newLevel++);
/*如果大于当前的level，则更新update数组并更新当前level*/
if (newLevel > list.listLevel) {
for (i = list.listLevel + 1; i <= newLevel; i++)
update[i] = NIL;
list.listLevel = newLevel;
}
/* 给新节点分配空间，分配newLevel个指针，则这个
节点的高度就固定了，只有newLevel。更高的层次将
不会再有这个值*/
if ((x = malloc(sizeof(nodeType) + newLevel*sizeof(nodeType *))) == 0)
return STATUS_MEM_EXHAUSTED;
x->key = key;
x->rec = *rec;
/* 给每层都加上这个值，相当于往链表中插入一个数*/
for (i = 0; i <= newLevel; i++) {
x->forward[i] = update[i]->forward[i];
update[i]->forward[i] = x;
}
return STATUS_OK;
}
statusEnum delete(keyType key) {
int i;
nodeType *update[MAXLEVEL+1], *x;
/*******************************************
* delete node containing data from list *
*******************************************/
/* find where data belongs */
x = list.hdr;
for (i = list.listLevel; i >= 0; i--) {
while (x->forward[i] != NIL
&& compLT(x->forward[i]->key, key))
x = x->forward[i];
update[i] = x;
}
x = x->forward[0];
if (x == NIL || !compEQ(x->key, key)) return STATUS_KEY_NOT_FOUND;
/* adjust forward pointers */
for (i = 0; i <= list.listLevel; i++) {
if (update[i]->forward[i] != x) break;
update[i]->forward[i] = x->forward[i];
}
free (x);
/* adjust header level */
while ((list.listLevel > 0)
&& (list.hdr->forward[list.listLevel] == NIL))
list.listLevel--;
return STATUS_OK;
}
statusEnum find(keyType key, recType *rec) {
int i;
nodeType *x = list.hdr;
/*******************************
* find node containing data *
*******************************/
for (i = list.listLevel; i >= 0; i--) {
while (x->forward[i] != NIL
&& compLT(x->forward[i]->key, key))
x = x->forward[i];
}
x = x->forward[0];
if (x != NIL && compEQ(x->key, key)) {
*rec = x->rec;
return STATUS_OK;
}
return STATUS_KEY_NOT_FOUND;
}
void initList() {
int i;
/**************************
* initialize skip list *
**************************/
if ((list.hdr = malloc(
sizeof(nodeType) + MAXLEVEL*sizeof(nodeType *))) == 0) {
printf ("insufficient memory (initList)\n");
exit(1);
}
for (i = 0; i <= MAXLEVEL; i++)
list.hdr->forward[i] = NIL;
list.listLevel = 0;
}
int main(int argc, char **argv) {
int i, maxnum, random;
recType *rec;
keyType *key;
statusEnum status;
/* command-line:
*
* skl maxnum [random]
*
* skl 2000
* process 2000 sequential records
* skl 4000 r
* process 4000 random records
*
*/
maxnum = 20;
random = argc > 2;
initList();
if ((rec = malloc(maxnum * sizeof(recType))) == 0) {
fprintf (stderr, "insufficient memory (rec)\n");
exit(1);
}
if ((key = malloc(maxnum * sizeof(keyType))) == 0) {
fprintf (stderr, "insufficient memory (key)\n");
exit(1);
}
if (random) {
/* fill "a" with unique random numbers */
for (i = 0; i < maxnum; i++) key[i] = rand();
printf ("ran, %d items\n", maxnum);
} else {
for (i = 0; i < maxnum; i++) key[i] = i;
printf ("seq, %d items\n", maxnum);
}
for (i = 0; i < maxnum; i++) {
status = insert(key[i], &rec[i]);
if (status) printf("pt1: error = %d\n", status);
}
for (i = maxnum-1; i >= 0; i--) {
status = find(key[i], &rec[i]);
if (status) printf("pt2: error = %d\n", status);
}
for (i = maxnum-1; i >= 0; i--) {
status = delete(key[i]);
if (status) printf("pt3: error = %d\n", status);
}
return 0;
}