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麻省理工《线性代数》学习笔记

Posted on 2011-01-18 13:43 Tommy Liang 阅读(1818) 评论(0)  编辑 收藏 引用 所属分类: 数学
1.矩阵乘以向量即为使用向量的分量对矩阵的列进行线性组合;
2.每个消元步骤都可以用矩阵乘法表达;由此导出求逆的办法:
  E[A I]表明对 [A I]分块矩阵进行消元,消元的步骤归结为 E,则得到 [EA E],EA最终变成I,那么E就是A-,其值由[EA E](即[I E])的右边分块给出。
3.矩阵乘法可以改变组合顺序(重新组合括号),但不可交换;
4.矩阵在左边的时候,用行变换,在右边的时候,用列变换;
5.行操作的步骤:选择左边矩阵每行的分量作为组合因子,对右边矩阵的各行进行线性组合,产生对应的各行;
6.列操作的步骤:选择右边矩阵每列(向量)的分量作为组合因子,对左边矩阵的各列进行线性组合,产生对应的各列;
7.置换矩阵:行交换后的单位矩阵;
8.置换矩阵的特点:总是可逆的,并且其转置恰好等于其逆;
9.PA=LU, 矩阵总可做LU分解,P是置换矩阵(Permutation);
10.对称矩阵:转置后等于自身的矩阵;
11.矩阵乘上其转置可以产生一个对称矩阵;
12.向量空间:即若干向量的线性组合;
  线性无关:如果向量无论如何组合(除了零组合)都得不到零向量,那么这些向量就是线性无关的,反之就是线性相关的,简言之,如果 Ax = 0 无解(零解除外),则A的列向量线性无关。
 (矩阵的)零空间(NA):使得Ax=0的所有x,总是包括零向量,零空间告诉我们矩阵的列向量是如何组合使得他们线性相关的;
13.Ax=b的可解性分析:首先b必须在C(A)(A的列空间)中,第二是如果A的行的某个线性组合产生了零行,那么b的同样的线性组合必须也给出零;
14.如何找到Ax=b的全解集:
   (1)找到一个特解:首先将所有的自由变量设置为零,然后为解Ax=0得到主元,比如R4中,x1,x3是主元,解出特解为 [x1,0,x3,0]T
   (2)解x的零空间(null space);
   现在,全解的表达式就是 特解 + 零空间中x的任意线性组合;
15.矩阵的秩(Rank):消元后有主元的列数;
16.m x n 矩阵的秩r与Ax=b的解集的关系:
   (1)r = m = n
       其 rref (reduced row echelon form:矩阵的化简行阶梯形式) 是单位矩阵I,Ax=b有唯一解;
   (2)r = n < m
       其 rref 形如 [I 0]零解或一个解,当b的下面的对应rref的零块的分量不是0的话,就是零解;
   (3)r = m < n
       其 rref 形如 [IF],F是自由变量,有无穷多个解;
   (4)r < m,r < n
       其 rref 形如 [IF  00]T ,有零或无穷解;
17.如果矩阵的零空间只有零向量,那么矩阵的向量线性无关 (independent),可以理解为:除了零,没有其他线性组合使得矩阵的向量回到原点,则向量线性无关;
18.张成(Span):矩阵列向量的所有线性组合;
19.空间的基(Basis):{ 空间中的向量集 | 线性无关且可张成空间本身 },某个空间的所有基都有相同个数的向量数,这个数称为空间的维(Dimension),
   其中,DimC(A)=r, DimN(A) = n - r
20.矩阵的四个子空间:
   (1)C(A) 列空间,在 Rm,向量有m个分量,Dim(C(A)) = r;
   (2)N(A) 零空间,在 Rn,Dim(N(A)) = n-r
   (3)C(AT) 行空间,在 Rn,Dim(C(AT)) = r,即矩阵转置后,列空间的维度不变;这是一个很重要的结论。
   (4)N(AT) 转置的零空间,在 Rm,Dim(N(AT)) = m-r


今天到西丽考第一科目,100分过关!特此庆祝!

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