【引言】

          在解题过程中，我们有时需要维护一个数组的前缀和S[i]=A[1]+A[2]+...+A[i]。

          但是不难发现，如果我们修改了任意一个A[i],S[i]、S[i+1]...S[n]都会发生变化。

          可以说，每次修改A[i]后，调整前缀和S[]在最坏情况下会需要O(n)的时间。

          当n非常大时，程序会运行得非常缓慢。

          因此，这里我们引入“树状数组”，它的修改与求和都是O(logn)的，效率非常高。

【理论】

          为了对树状数组有个形 象的认识，我们先看下面这张图。

          这里，C[i]表示A[i-2^k+1]到A[i]的和，而k则是i在二进制时末尾0的个数，

          或者说是i用2的幂方和表示时的最小指数。

         （ 当然，利用位运算，我们可以直接计算出2^k=i&(i^(i-1)) ）

          同时，我们也不难发现，这个k就是该节点在树中的高度，因而这个树的高度不会超过logn。

          所以,当我们修改A[i]的值时，可以从C[i]往根节点一路上溯，调整这条路上的所有C[]即可，

          这个操作的复杂度在最坏情况下就是树的高度即O(logn)。  

          另外，对于求数列的前n项和，只需找到n以前的所有最大子树，把其根节点的C加起来即可。

          不难发现，这些子树的数目是n在二进制时1的个数，或者说是把n展开成2的幂方和时的项数,

          因此，求和操作的复杂度也是O(logn)。

          接着，我们考察这两种操作下标变化的规律：

          首先看修改操作：

          已知下标i，求其父节点的下标。
          我们可以考虑对树从逻辑上转化：

         如图，我们将子树向右对称翻折，虚拟出一些空白结点（图中白色），将原树转化成完全二叉树。

         有图可知，对于节点i，其父节点的下标与翻折出的空白节点下标相同。

         因而父节点下标 p=i+2^k  (2^k是i用2的幂方和展开式中的最小幂，即i为根节点子树的规模)

         即  p = i + i&(i^(i-1)) 。

         接着对于求和操作：

         因为每棵子树覆盖的范围都是2的幂，所以我们要求子树i的前一棵树，只需让i减去2的最小幂即可。

         即  p = i - i&(i^(i-1)) 。

         至此，我们已经比较详细的分析了树状数组的复杂度和原理。

         在最后，我们将给出一些树状数组的实现代码，希望读者能够仔细体会其中的细节。

【代码】

 求最小幂2^k:

int LowBit(int n)
{
    return n & (-n);
}

int Sum(int nPos)
{
    int nSum = 0;
    while (nPos > 0)
    {
        nSum += C[nPos];
        nPos -= LowBit(nPos);
    }

    return nSum;
}

void Modify(int nPos, int delta)
{
    while (nPos <= DATA_SIZE)
    {
        C[nPos] += delta;
        nPos += LowBit(nPos);
    }
}

#include <iostream.h>
#include <stdlib.h> 
#include <malloc.h>
#include <windows.h>

#define DATA_SIZE 10000000

int A[DATA_SIZE];
int C[DATA_SIZE];

int LowBit(int n)
{
    return n & (-n);
}


// Binary Indexed tree
int Sum1(int nPos)
{
    int nSum = 0;
    while (nPos > 0)
    {
        nSum += C[nPos];
        nPos -= LowBit(nPos);
    }

    return nSum;
}

void Modify(int nPos, int delta)
{
    while (nPos <= DATA_SIZE)
    {
        C[nPos] += delta;
        nPos += LowBit(nPos);
    }
}

// Common Plus
int Sum2(int nPos)
{
    int nSum = 0;
    for ( int i=1; i<DATA_SIZE; i++ )
    {
        nSum += A[i];
    }

    return nSum;
}


main()
{

    DWORD dwBegin,dwEnd;
    dwBegin = dwEnd = GetTickCount();

    int nIndexChanged = 10;
    int nData = 100;

    A[nIndexChanged] = nData;
    Modify(nIndexChanged,nData);

    int nSum = Sum1(DATA_SIZE-1);
    cout<<nSum<<endl;
    dwEnd = GetTickCount();
    int nDiff = dwEnd-dwBegin;
    cout<<"Time1:"<<dwEnd-dwBegin<<endl;
    cout<<"---------------------"<<endl;

    dwBegin = dwEnd = GetTickCount();
    nSum = Sum2(DATA_SIZE-1);
    cout<<nSum<<endl;
    dwEnd = GetTickCount();
    nDiff = dwEnd-dwBegin;
    cout<<"Time2:"<<nDiff<<endl;
    cout<<"---------------------"<<endl;
    
    return 0;
}