今天看了DD牛的《背包九讲》看到一个背包的超前优化：
题目：
有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
基本算法：
这题目和完全背包问题很类似。基本的方程只需将完全背包问题的方程略微一改即可，因为对于第i种物品有n[i]+1种策略：取0件，取1件……取n[i]件。令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值，则有状态转移方程：
f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k<=n[i]}
复杂度是O(V*Σn[i])。
转化为01背包问题
另一种好想好写的基本方法是转化为01背包求解：把第i种物品换成n[i]件01背包中的物品，则得到了物品数为Σn[i]的01背包问题，直接求解，复杂度仍然是O(V*Σn[i])。
但是我们期望将它转化为01背包问题之后能够像完全背包一样降低复杂度。仍然考虑二进制的思想，我们考虑把第i种物品换成若干件物品，使得原问题中第i种物品可取的每种策略——取0..n[i]件——均能等价于取若干件代换以后的物品。另外，取超过n[i]件的策略必不能出现。
方法：
将第i种物品分成若干件物品，其中每件物品有一个系数，这件物品的费用和价值均是原来的费用和价值乘以这个系数。使这些系数分别为1,2,4,...,2^(k-1),n[i]-2^k+1，且k是满足n[i]-2^k+1>0的最大整数。例如，如果n[i]为13，就将这种物品分成系数分别为1,2,4,6的四件物品。
分成的这几件物品的系数和为n[i]，表明不可能取多于n[i]件的第i种物品。另外这种方法也能保证对于0..n[i]间的每一个整数，均可以用若干个系数的和表示，这个证明可以分0..2^k-1和2^k..n[i]两段来分别讨论得出(并不难，希望你自己思考尝试一下)
这样就将第i种物品分成了O(log n[i])种物品，将原问题转化为了复杂度为<math>O(V*Σlog n[i])的01背包问题，是很大的改进。
下面给出O(log amount)时间处理一件多重背包中物品的过程，其中amount表示物品的数量：
procedure MultiplePack(cost,weight,amount)
if cost*amount>=V
CompletePack(cost,weight)
return
integer k=1
while k<amount
ZeroOnePack(k*cost,k*weight)
amount=amount-k
k=k*2
ZeroOnePack(amount*cost,amount*weight)
dd把每一个物品的数量转换成2进制的形式，好处在于所用到的物品个数我可以用产生出来的2进制的数量去把需要的物品个数组合出来,例如：5：1 4，10：1 2 4 3（1 2），所以我们就没有必要想以前那样for所有的物品数量，减少了很多无畏的循环。
普通的优化：
做法：
对于每件物品的数量，在每次循环是我们加个判断：对于当前的for的这个物品，它最终有没有改变到哪个背包，假如它每一个背包都没有改变到，那么当前物品后面的数量也是不会改变任何的背包（他们都是一样的嘛！），所有此时我们便可跳出当前物品的循环了.（时间挺理想的，对于一般的数据是很快的）
【参考程序】：
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
int f[50001];
int main()
{
freopen("duo.in","r",stdin);
freopen("duo.out","w",stdout);
long n,m,a,b,c;
scanf("%d%d",&n,&m);
memset(f,0,sizeof(f));
for (int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
for (int k=1;k<=a;k++)
{
bool bk=1;//上述的优化
for (int j=n;j>=b;j--)
if (f[j]<f[j-b]+c){
f[j]=f[j-b]+c;
bk=0;
}
if(bk) break;
}
}
printf("%d\n",f[n]);
return 0;
}
DD 牛的优化：
【参考程序】：
#include<string.h>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
long f[50001],n,m;
bool bk;
void zeroonepack(long we,long va)
{
for (int i=n;i>=we;i--)
{
if (f[i-we]+va>f[i])
{
f[i]=f[i-we]+va;
bk=true;
}
}
}
int main()
{
freopen("duo.in","r",stdin);
freopen("duo.out","w",stdout);
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int i=0;i<=n;i++) f[i]=0;
long amount,weight,value,k;
for (int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d%d",&amount,&weight,&value);
k=1;bk=false;
while (k<=amount)
{
zeroonepack(k*weight,k*value);
if (!bk) break;
amount-=k;
k*=2;
}
zeroonepack(amount*weight,amount*value);
}
printf("%d\n",f[n]);
return 0;
}