题目

有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

基本思路

这个问题非常类似于01背包问题，所不同的是每种物品有无限件。也就是从每种物品的角度考虑，与它相关的策略已并非取或不取两种，而是有取0件、取1件、取2件……等很多种。如果仍然按照解01背包时的思路，令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值。仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方程，像这样：

f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v}

这跟01背包问题一样有O(VN)个状态需要求解，但求解每个状态的时间已经不是常数了，求解状态f[i][v]的时间是O(v/c[i])，总的复杂度可以认为是O(V*Σ(V/c[i]))，是比较大的。

将01背包问题的基本思路加以改进，得到了这样一个清晰的方法。这说明01背包问题的方程的确是很重要，可以推及其它类型的背包问题。但我们还是试图改进这个复杂度。

一个简单有效的优化

完全背包问题有一个很简单有效的优化，是这样的：若两件物品i、j满足c[i]<=c[j]且w[i]>=w[j]，则将物品j去掉，不用考虑。这个优化的正确性显然：任何情况下都可将价值小费用高得j换成物美价廉的i，得到至少不会更差的方案。对于随机生成的数据，这个方法往往会大大减少物品的件数，从而加快速度。然而这个并不能改善最坏情况的复杂度，因为有可能特别设计的数据可以一件物品也去不掉。

这个优化可以简单的O(N^2)地实现，一般都可以承受。另外，针对背包问题而言，比较不错的一种方法是：首先将费用大于V的物品去掉，然后使用类似计数排序的做法，计算出费用相同的物品中价值最高的是哪个，可以O(V+N)地完成这个优化。这个不太重要的过程就不给出伪代码了，希望你能独立思考写出伪代码或程序。

转化为01背包问题求解

既然01背包问题是最基本的背包问题，那么我们可以考虑把完全背包问题转化为01背包问题来解。最简单的想法是，考虑到第i种物品最多选V/c[i]件，于是可以把第i种物品转化为V/c[i]件费用及价值均不变的物品，然后求解这个01背包问题。这样完全没有改进基本思路的时间复杂度，但这毕竟给了我们将完全背包问题转化为01背包问题的思路：将一种物品拆成多件物品。

更高效的转化方法是：把第i种物品拆成费用为c[i]*2^k、价值为w[i]*2^k的若干件物品，其中k满足c[i]*2^k<=V。这是二进制的思想，因为不管最优策略选几件第i种物品，总可以表示成若干个2^k件物品的和。这样把每种物品拆成O(log V/c[i])件物品，是一个很大的改进。

但我们有更优的O(VN)的算法。

O(VN)的算法

这个算法使用一维数组，先看伪代码：

for i=1..N
   for v=0..V
      f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}

你会发现，这个伪代码与P01的伪代码只有v的循环次序不同而已。为什么这样一改就可行呢？首先想想为什么P01中要按照v=V..0的逆序来循环。这是因为要保证第i次循环中的状态f[i][v]是由状态f[i-1][v-c[i]]递推而来。换句话说，这正是为了保证每件物品只选一次，保证在考虑“选入第i件物品”这件策略时，依据的是一个绝无已经选入第i件物品的子结果f[i-1][v-c[i]]。而现在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件，所以在考虑“加选一件第i种物品”这种策略时，却正需要一个可能已选入第i种物品的子结果f[i][v-c[i]]，所以就可以并且必须采用v=0..V的顺序循环。这就是这个简单的程序为何成立的道理。

值得一提的是，上面的伪代码中两层for循环的次序可以颠倒。这个结论有可能会带来算法时间常数上的优化。

这个算法也可以以另外的思路得出。例如，将基本思路中求解f[i][v-c[i]]的状态转移方程显式地写出来，代入原方程中，会发现该方程可以等价地变形成这种形式：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i][v-c[i]]+w[i]}

将这个方程用一维数组实现，便得到了上面的伪代码。

最后抽象出处理一件完全背包类物品的过程伪代码：

procedure CompletePack(cost,weight)
   for v=cost..V
      f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

总结

完全背包问题也是一个相当基础的背包问题，它有两个状态转移方程，分别在“基本思路”以及“O(VN)的算法“的小节中给出。希望你能够对这两个状态转移方程都仔细地体会，不仅记住，也要弄明白它们是怎么得出来的，最好能够自己想一种得到这些方程的方法。事实上，对每一道动态规划题目都思考其方程的意义以及如何得来，是加深对动态规划的理解、提高动态规划功力的好方法。

代码

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#define MINUSINF 0x80000000 
#define MAXN 100
#define MAXV 1000
int max(int a,int b)
{
    return a>b?a:b;
} 
struct Pack
{
    int c;
    int w;
};
int cmp( const void *a ,const void *b) 
{ 
    struct Pack *d=(Pack *)a; 
    struct Pack *e=(Pack *)b; 
    if(d->c!=e->c) return d->c-e->c; 
    else return e->w-d->w; 
}
//n种物品和一个容量为v的背包，每种物品都有无限件可用。
//第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]，装满与否要求为full
//算法1：基本思路解法，时间复杂度为O(v*Σ(v/c[i]))，空间复杂度为O(nv) 
int CompletePack1(int n,int v,int c[],int w[],int full)
{
    int i,j,k,current;
    int f[MAXN][MAXV];
    if(full)
    {
        for(i=0;i<=n;i++)
            for(j=0;j<=v;j++) 
                f[i][j]=MINUSINF;
        f[0][0]=0;
    } 
    else memset(f,0,sizeof(f));
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        for(j=0;j<=v;j++)
        {
            current=MINUSINF;
            for(k=0;k<=j/c[i];k++)
            {
                f[i][j]=max(current,f[i-1][j-k*c[i]]+k*w[i]);
                current=f[i][j];
            }
        }
    }
    if(f[n][v]<0) return -1;
    else return f[n][v];
}
//算法2：基本思路解法的简单优化，时间复杂度为O(v*Σ(v/c[i]))，空间复杂度为O(nv) 
int Optimization(int n,int v,int c[],int w[],int selected[])
{
    Pack pack[MAXN];
    int i;
    memset(selected,0,sizeof(selected));
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        pack[i].c=c[i+1];
        pack[i].w=w[i+1];
    }
    qsort(pack,n,sizeof(pack[0]),cmp);
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        c[i+1]=pack[i].c;
        w[i+1]=pack[i].w;
    }
    for(i=1;i<n;i++)
    {
        if(c[i]!=c[i+1]) continue;
        else selected[i+1]=-1;
    }
}
int CompletePack2(int n,int v,int c[],int w[],int full)
{
    int i,j,k,current;
    int f[MAXN][MAXV];
    int selected[MAXN];
    if(full)
    {
        for(i=0;i<=n;i++)
            for(j=0;j<=v;j++) 
                f[i][j]=MINUSINF;
        f[0][0]=0;
    } 
    else memset(f,0,sizeof(f));
    Optimization(n,v,c,w,selected);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        if(selected[i]==-1) continue;
        for(j=0;j<=v;j++)
        {
            current=MINUSINF;
            for(k=0;k<=j/c[i];k++)
            {
                f[i][j]=max(current,f[i-1][j-k*c[i]]+k*w[i]);
                current=f[i][j];
            }
        }
    }
    if(f[n][v]<0) return -1;
    else return f[n][v];
}
//算法3：一维数组解法，时间复杂度为O(nv)，空间复杂度为O(v)
int CompletePack3(int n,int v,int c[],int w[],int full)
{
    int i,j;
    int f[MAXV];
    if(full)
    {
        f[0]=0;
        for(i=1;i<=v;i++) 
            f[i]=MINUSINF;
    }
    else memset(f,0,sizeof(f));
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        for(j=c[i];j<=v;j++)
        {
            f[j]=max(f[j],f[j-c[i]]+w[i]);
        }
    }
    if(f[v]<0) return -1;
    else return f[v];
}
int main()
{
    int i,j;
    int n,v,c[MAXN],w[MAXN];
    while(scanf("%d %d",&n,&v)!=EOF)
    {
        for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d %d",&c[i],&w[i]);
        printf("%d\n",CompletePack1(n,v,c,w,0));
    }
    return 0;
}