问题:
n个元素的集合{1,2,.,n }可以划分为若干个非空子集。例如,当n=4 时,集合{1,2,3,4}可以划分为15个不同的非空子集如下:
{1},{2},{3},{4}}, {{1,2},{3},{4}},
{{1,3},{2},{4}}, {{1,4},{2},{3}},
{{2,3},{1},{4}}, {{2,4},{1},{3}},
{{3,4},{1},{2}}, {{1,2},{3,4}},
{{1,3},{2,4}}, {{1,4},{2,3}},
{{1,2,3},{4}}, {{1,2,4},{3}},
{{1,3,4},{2}}, {{2,3,4},{1}},
{{1,2,3,4}}
其中,集合{{1,2,3,4}} 由1个子集组成;集合{{1,2},{3,4}},{{1,3},{2,4}},{{1,4},{2,3}},{{1,2,3},{4}},{{1,2,4},{3}},{{1,3,4},{2}},{{2,3,4},{1}} 由2个子集组成;集合{{1,2},{3},{4}},{{1,3},{2},{4}},{{1,4}.{2},{3}},{{2,3},{1},{4}},{{2,4},{1},{3}},{{3,4},{1},{2}} 由3 个子集组成;集合{{1},{2},{3},{4}} 由4个子集组成。
编程任务:
给定正整数n 和m,计算出n 个元素的集合{1,2,., n }可以划分为多少个不同的由m 个
非空子集组成的集合。
数据输入:
由文件input.txt 提供输入数据。文件的第1 行是元素个数n 和非空子集数m。
结果输出:
程序运行结束时,将计算出的不同的由m个非空子集组成的集合数输出到文件output.txt中。
输入文件示例输出文件示例
input.txt output.txt
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解题思路:
设n个元素的集合可以划分为F(n,m)个不同的由m个非空子集组成的集合。
考虑3个元素的集合,可划分为
① 1个子集的集合:{{1,2,3}}
② 2个子集的集合:{{1,2},{3}},{{1,3},{2}},{{2,3},{1}}
③ 3个子集的集合:{{1},{2},{3}}
∴F(3,1)=1;F(3,2)=3;F(3,3)=1;
如果要求F(4,2)该怎么办呢?
A.往①里添一个元素{4},得到{{1,2,3},{4}}
B.往②里的任意一个子集添一个4,得到
{{1,2,4},{3}},{{1,2},{3,4}},
{{1,3,4},{2}},{{1,3},{2,4}},
{{2,3,4},{1}},{{2,3},{1,4}}
∴F(4,2)=F(3,1)+2*F(3,2)=1+2*3=7
推广,得F(n,m)=F(n-1,m-1)+m*F(n-1,m)
注:
解法来自网络。一本书上只是简单的说这是bell数,但是对组合论不是太了解。所以看到这个答案时觉得很清晰,就记录了下来
1. 带权中位数:
带权中位数的应用场景是:一条线上有n个点,找出一个位置,使n个点到这个位置的带权距离最小。一般这个位置就是n个点的带权中位数。如果没有涉及到权重问题,则指得就是中位数。
上面说的距离都是指绝对距离,即|x1-x2|
2. 士兵站队
问题:
在一个划分成网格的操场上,n个士兵散乱地站在网格点上。网格点由整数坐标(x,y)表示。士兵们可以沿网格边上、下、左、右移动一步,但在同一时刻任一网格点上只能有一名士兵。按照军官的命令,士兵们要整齐地列成一个水平队列,即排列成(x,y),(x+1,y),…,(x+n-1,y)。如何选择x和y的值才能使士兵们以最少的总移动步数排成一列。
算法:
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int x[10000];
int y[10000];
int main()
{
int n;
cin>>n;
for(int i = 0; i < n; ++i)
cin>>x[i]>>y[i];
int tempx;
int tempy;
//带权中位数的第一次用,因为y最后都是一样,所以向y移动的总步数要最少
nth_element(y, y + n / 2, y + n);
tempy = y[n/2];
sort(x, x + n);
//x最好是要不一样的,所以先假定他们排成0,1,2,n
for(int i = 0; i < n; ++i)
x[i] -= i;
//最后剩余的是offset,所以要选一个中位数(对上面的排列进行complete,使其成为最后真正的排列),使得各个offset到这个位置的总步数最少
nth_element(x, x + n / 2, x + n);
tempx= x[n/2];
int total=0;
for(int i = 0; i < n; ++i)
{
total += abs(y[i] - tempy);
total += abs(x[i] - tempx);
}
cout<<total<<endl;
}
注:
基本这个算法来自网路,但由于没有注释,看了很久才弄明白,于是在这里记录下来