动量守恒与能量守恒相矛盾吗？

https://www.zhihu.com/question/21540160

  • 证明末动能小于初动能：

牛顿定律 \mathbf{F }_{i }=m \mathbf{a }_{i }=m _{i }\frac{\, \mathrm{d } \, \dot{\mathbf{r }}_{i } \, }{\, \mathrm{d } \, t \, } ，Fi是第i个物体受的合力

\Rightarrow \mathbf{F }_{i }\, \mathrm{d } \, t \, =m _{i }\, \mathrm{d } \, \dot{\mathbf{r }}_{i } \,

\Rightarrow \mathbf{F }_{i }\cdot \dot{\mathbf{r }}_{i }\, \mathrm{d } \, t \, =\mathbf{F }_{i }\cdot \, \mathrm{d } \, \mathbf{r }_{i } \, =m _{i }\dot{\mathbf{r }}_{i }\cdot \, \mathrm{d } \, \dot{\mathbf{r }}_{i } \,

\Rightarrow \mathbf{F }_{i }\cdot \, \mathrm{d } \, \mathbf{r }_{i } \, =\, \mathrm{d } \left( \frac{1 }{2 }m _{i }{\dot{\mathbf{r }}_{i }}^{2 }\right) \,

咱们用T表动能

\Rightarrow \sum _{i }\mathbf{F }_{i }\cdot \, \mathrm{d } \, \mathbf{r }_{i } \, \; =\sum _{i }\, \mathrm{d } \left( \frac{1 }{2 }m _{i }{\dot{\mathbf{r }}_{i }}^{2 }\right) \, \; =\sum _{i }\, \mathrm{d } \, T _{i } \, \;

而 \sum _{i }\mathbf{F }_{i }\cdot \, \mathrm{d } \, \mathbf{r }_{i } \, \; =\sum _{i }{\mathbf{F }_{i }}^{{\left( i \right) }} \cdot \, \mathrm{d } \, \mathbf{r }_{i } \, \; +\sum _{i }{\mathbf{F }_{i }}^{{\left( e \right) }} \cdot \, \mathrm{d } \, \mathbf{r }_{i } \, \; i表内，e表外

=\, \mathrm{d } \, W _{外 } \, +\, \mathrm{d } \, W _{内 } \,

\Rightarrow \, \mathrm{d } \, W _{外 } \, +\, \mathrm{d } \, W _{内 } \, =\sum _{i }\, \mathrm{d } \, T _{i } \, \;

积个分

\Rightarrow W _{外 }+W _{内 }=\sum _{i }\Delta T _{i }\; 这是动能定理

如果非弹性碰撞的话，物体在受挤压力的时候向内凹陷，一定有内力负功，还有很少摩擦力，按物理语言，这些功转成了热

W _{外 }+W _{内 }=-Q < 0

所以动能关系

{\left( \sum _{i }T _{i }\; \right) }_{末 }< {\left( \sum _{i }T _{i }\; \right) }_{初 }


  • 动量守恒：

\mathbf{F }_{i }\, \mathrm{d } \, t \, =m _{i }\, \mathrm{d } \, \dot{\mathbf{r }}_{i } \,

\Rightarrow \sum _{i }\mathbf{F }_{i }\, \mathrm{d } \, t \, \; =\sum _{i }m _{i }\, \mathrm{d } \, \dot{\mathbf{r }}_{i } \, \;

\sum _{i }\mathbf{F }_{i }\, \mathrm{d } \, t \, \; =\sum _{i }{\mathbf{F }_{i }}^{{\left( i \right) }}\, \mathrm{d } \, t \, \; +\sum _{i }{\mathbf{F }_{i }}^{{\left( e \right) }} \, \mathrm{d } \, t \, \;

而物体间内力是成对出现的

\sum _{i }{\mathbf{F }_{i }}^{{\left( i \right) }}\; =\sum _{i \neq j }\mathbf{F }_{i j }\;

我们还有牛顿第三定律：

\sum _{i \neq j }\mathbf{F }_{i j }\; =0

所以合力的冲量元即为合外力的冲量元

\sum _{i }\mathbf{F }_{i }\, \mathrm{d } \, t \, \; =\sum _{i }{\mathbf{F }_{i }}^{{\left( e \right) }} \, \mathrm{d } \, t \, \;

用Ii表示第i个物体受合外力的冲量

\, \mathrm{d } \, \mathbf{I }_{i } \, ={\mathbf{F }_{i }}^{{\left( e \right) }}\, \mathrm{d } \, t \,

\sum _{i }\mathbf{F }_{i }\, \mathrm{d } \, t \, \; =\sum _{i }\, \mathrm{d } \, \mathbf{I }_{i } \, \; =\, \mathrm{d } \, \mathbf{I } \,

所以动量定理的微分式我们也有了，I是体系合外力的冲量

\, \mathrm{d } \, \mathbf{I } \, =\sum _{i }m _{i }\, \mathrm{d } \, \dot{\mathbf{r }}_{i } \, \;

碰撞的话，一瞬间质点系的合外力为零

\mathbf{I }=\mathbf{0 }

自然有

\sum _{i }m _{i }\, \mathrm{d } \, \dot{\mathbf{r }}_{i } \, \; =\mathbf{0 }

所以积分后就有我们的动量守恒律：

\sum _{i }m _{i }\dot{\mathbf{r }}_{i }\; =常

\sum _{i }m _{i }\mathbf{v }_{i }\; =守恒量



作者：沈飞
链接：https://www.zhihu.com/question/21540160/answer/469870033
来源：知乎
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posted on 2018-11-20 16:32 zmj 阅读(334) 评论(0)  编辑 收藏 引用


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