Hashing定义了一种将字符组成的字符串转换为固定长度(一般是更短长度)的数值或索引值的方法,称为散列法,也叫哈希法。由于通过更短的哈希值比用原始值进行数据库搜索更快,这种方法一般用来在数据库中建立索引并进行搜索,同时还用在各种解密算法中。
      
设所有可能出现的关键字集合记为U(简称全集)。实际发生(即实际存储)的关键字集合记为K|K||U|小得多)。|K|是集合K中元素的个数
      
散列方法是使用函数hashU映射到表T[0..m-1]的下标上(m=O(|U|))。这样以U中关键字为自变量,以h为函数的运算结果就是相应结点的存储地址。从而达到在O(1)时间内就可完成查找。
其中:
hashU{012m-1} ,通常称h为散列函数(Hash Function)。散列函数h的作用是压缩待处理的下标范围,使待处理的|U|个值减少到m个值,从而降低空间开销。
T为散列表(Hash Table)
hash(Ki)(KiU)是关键字为Ki结点存储地址(亦称散列值或散列地址)
将结点按其关键字的散列地址存储到散列表中的过程称为散列(Hashing).
比如:有一组数据包括用户名字、电话、住址等,为了快速的检索,我们可以利用名字作为关键码,hash规则就是把名字中每一个字的拼音的第一个字母拿出来,把该字母在26个字母中的顺序值取出来加在一块作为改记录的地址。比如张三,就是Z+S26+1945。就是把张三存在地址为45处。
       
但是这样存在一个问题,比如假如有个用户名字叫做:周四,那么计算它的地址时也是Z+S45,这样它与张三就有相同的地址,这就是冲突,也叫作碰撞
       
冲突:两个不同的关键字,由于散列函数值相同,因而被映射到同一表位置上。该现象称为冲突(Collision)或碰撞。发生冲突的两个关键字称为该散列函数的同义词(Synonym)
       
冲突基本上不可避免的,除非数据很少,我们只能采取措施尽量避免冲突,或者寻找解决冲突的办法。影响冲突的因素
     冲突的频繁程度除了与h相关外,还与表的填满程度相关。
   
 设mn分别表示表长和表中填人的结点数,则将α=n/m定义为散列表的装填因子(Load Factor)α越大,表越满,冲突的机会也越大。通常取α≤1

----散列函数的构造方法:----

1、散列函数的选择有两条标准:简单和均匀。
     简单指散列函数的计算简单快速;
   
 均匀指对于关键字集合中的任一关键字,散列函数能以等概率将其映射到表空间的任何一个位置上。也就是说,散列函数能将子集K随机均匀地分布在表的地址集{01m-1}上,以使冲突最小化。
2、常用散列函数

1)直接定址法:比如在一个0100岁的年龄统计表,我们就可以把年龄作为地址。
2平方取中法
具体方法:先通过求关键字的平方值扩大相近数的差别,然后根据表长度取中间的几位数作为散列函数值。又因为一个乘积的中间几位数和乘数的每一位都相关,所以由此产生的散列地址较为均匀。
3)除留余数法
取关键字被某个不大于哈希表表长m的数p除后所得余数为哈希地址。
该方法的关键是选取m。选取的m应使得散列函数值尽可能与关键字的各位相关。m最好为素数
4随机数法
选择一个随机函数,取关键字的随机函数值为它的散列地址,即h(key)=random(key)
其中random为伪随机函数,但要保证函数值是在0m-1之间。

----处理冲突的方法:----

1、开放定址法
Hi=(H(key)+di) MOD m i=1,2,...,k(k<=m-1)
其中m为表长,di为增量序列
如果di值可能为1,2,3,...m-1,称线性探测再散列
如果di取值可能为1,-1,2,-2,4,-4,9,-9,16,-16,...k*k,-k*k(k<=m/2)
二次探测再散列
如果di取值可能为伪随机数列。称伪随机探测再散列
开放地址法堆装填因子的要求
开放定址法要求散列表的装填因子α≤l,实用中取α0.50.9之间的某个值为宜。
2、二次探查法(Quadratic Probing)
二次探查法的探查序列是:
hi=(h(key)+i*i)
m 0≤i≤m-1 //di=i2
即探查序列为d=h(key)d+12d+22,等。
该方法的缺陷是不易探查到整个散列空间。
3、双重散列法(Double Hashing)

该方法是开放定址法中最好的方法之一,它的探查序列是:
hi=(h(key)+i*h1(key))
m 0≤i≤m-1 //di=i*h1(key)
即探查序列为:
d=h(key)(d+h1(key))m(d+2h1(key))m,等。
该方法使用了两个散列函数h(key)h1(key),故也称为双散列函数探查法。
3
、拉链法
拉链法解决冲突的做法是:将所有关键字为同义词的结点链接在同一个单链表中。若选定的散列表长度为m,则可将散列表定义为一个由m个头指针组成的指针数组T[0..m-1]。凡是散列地址为i的结点,均插入到以T[i]为头指针的单链表中。T中各分量的初值均应为空指针。在拉链法中,装填因子α可以大于1,但一般均取α≤1
4
、建立一个公共溢出区
假设哈希函数的值域为[0,m-1],则设向量HashTable[0..m-1]为基本表,另外设立存储空间向量OverTable[0..v]用以存储发生冲突的记录。

----性能分析----
     插入和删除的时间均取决于查找,故下面只分析查找操作的时间性能。
   
 虽然散列表在关键字和存储位置之间建立了对应关系,理想情况是无须关键字的比较就可找到待查关键字。但是由于冲突的存在,散列表的查找过程仍是一个和关键字比较的过程,不过散列表的平均查找长度比顺序查找、二分查找等完全依赖于关键字比较的查找要小得多。
1)查找成功的ASL
散列表上的查找优于顺序查找和二分查找。
2查找不成功的ASL
对于不成功的查找,顺序查找和二分查找所需进行的关键字比较次数仅取决于表长,而散列查找所需进行的关键字比较次数和待查结点有关。因此,在等概率情况下,也可将散列表在查找不成功时的平均查找长度,定义为查找不成功时对关键字需要执行的平均比较次数。
注意:
由同一个散列函数、不同的解决冲突方法构造的散列表,其平均查找长度是不相同的。
散列表的平均查找长度不是结点个数n的函数,而是装填因子α的函数。因此在设计散列表时可选择α以控制散列表的平均查找长度。
α的取值
 
α越小,产生冲突的机会就小,但α过小,空间的浪费就过多。只要α选择合适,散列表上的平均查找长度就是一个常数,即散列表上查找的平均时间为O(1)
散列法与其他查找方法的区别
除散列法外,其他查找方法有共同特征为:均是建立在比较关键字的基础上。其中顺序查找是对无序集合的查找,每次关键字的比较结果为"=""!="两种可能,其平均时间为O(n);其余的查找均是对有序集合的查找,每次关键字的比较有"=""<"">"三种可能,且每次比较后均能缩小下次的查找范围,故查找速度更快,其平均时间为O(lgn)。而散列法是根据关键字直接求出地址的查找方法,其查找的期望时间为O(1)

例子:
选取哈希函数
H(K)=(3K)%11,用线性探测再散列法处理冲突。
试在010的散列地址空间中,对关键序列22,41,53,46,30,13,01,67构造哈希表,并求等概率情况下查找不成功的平均查找长度ASL

/**//*--------------------------------------------------------
 *    hashtable.cpp
 *    Describe : example for hashing
 *    author   : JackRain
 *    date     : 08-13-2005
 *    E_mail   :  jack.fandlr@gmail.com
 *    Test with C-Free3.5
---------------------------------------------------------*/


#include <iostream>

#define addr_scope 11
int hash(int key)
{
    
return(key*3)%11;
}
typedef 
int KeyType,DataType,Status;
//typedef int DataType;
//typedef int Status;
typedef struct {
     KeyType key;
 
//    DataType data;
     Status   stat;   //1 = over; 0
}Element;

class HashTable
{
    
public:
            HashTable(
int n);
            ~HashTable();
            
bool insert(int e);
            
bool search(int e, int *pos);
            
void display();
    
private:
            Element *elem;
            
int     hash_size;
            
int     dataNum;
};
HashTable::HashTable(
int n):hash_size(n),dataNum(0)
{
  
//  hash_size = n;
   // dataNum = 0;
    elem = new Element[n];
    
for(int i=0;i < n;i++)
    
{
        elem[i].key = 0;
        elem[i].stat = 0;
    }
}

HashTable::~HashTable()
{
    delete[] elem;
}

bool HashTable::insert(int e)
{
    
if(dataNum == hash_size)
    
{
        cout<<"OverFlow!"<<endl;
        
return false;
    }
    
int pos = hash(e),pos1;
      pos1 = pos;
    
for(int i = 1; i < hash_size; i ++)
    
{
        
if(elem[pos].stat==0)
        
{
            
//success
            elem[pos].key = e;
            elem[pos].stat = 1;
            dataNum++;
            cout<<"Insert Value Success!The value is:"<<e<<";the addr is:"<<pos<<endl;
            
return true;
        }
        pos = (pos1+i)%hash_size;
    }
    cout<<"Insert Value Faliure"<<endl;
    
return false;
}

bool HashTable::search(int key, int* pos)
{
    
int hashvalue = hash(key);
    
for(int i = 1; i< hash_size; i ++)
    
{
        
if(elem[hashvalue].stat==1&&elem[hashvalue].key == key)
        
{
            cout<<"Search Success!Search Nums="<<i<<endl;
            *pos = hashvalue;
            
return true;
        }
        hashvalue = (hashvalue+1)%hash_size;
    }
    
    cout<<"Not found"<<endl;
    
return false;
}

void HashTable::display()
{
    
if(dataNum == 0)
    
{
        cout<<"The Table is NULL"<<endl;
        
return;
    }
    cout<<"************HashTable*************"<<endl;
    cout<<"addr                         value"<<endl;
    
for(int i = 0; i<hash_size;i++)
    
{
        
if(elem[i].stat == 0)
            
continue;
        
else
            cout.width(4);
            cout<<elem[i].key;
            cout<<"                         ";
            cout.width(5);
            cout<<i<<endl;
    }
    cout<<"************************************"<<endl;
}

int main()
{
    
int array[]= {22, 41, 53, 46, 30,13, 01,67};
    HashTable hTable(addr_scope);
    
for(int i =0;i < 8;i++)
    hTable.insert(array[i]);
    hTable.display();
    
return 0;
}

查找不成功的平均查找长度ASL=(2+1+8+7+6+5+4+3+2+1+1/11≈3.63