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A*高效搜索算法 2006/09/11 rickone

了解了基本搜索算法，下面就来看A*，神奇的A*。

A*是一种启发式搜索，一种有序搜索，它之所以特殊完全是在它的估价函数上，如果我要求的是从初始结点到目的结点的一个最短路径（或加权代价）的可行解，那对于一个还不是目标结点的结点，我对它的评价就要从两个方面评价：第一，离目标结点有多近，越近越好；第二，离起始结点有多远，越近越好。记号[a,b]是表示结点a到结点b的实际最短路径代价。设起始结点为S，当前结点为n，目标结点为G，于是n的实际代价应该是f*(n)=g*(n)+h*(n)，其中g*(n)=[S,n],h*(n)=[n,G]，对于是g*(n)是比较容易得到的，在搜索的过程中我们可以按搜索的顺序对它进行累积计算，当然按BFS和DFS的不同，我们对它的估价g(n)可以满足g(n)>=g*(n)，大多可以是相等的。但是对于h*(n)我们却了解得非常少，目标结点正是要搜索的目的，我们是不知道在哪，就更不知道从n到目标结点的路径代价，但是或多或少我们还是可以估计的，记估价函数f(n)=g(n)+h(n)。

我们说如果在一般的图搜索算法中应用了上面的估价函数对OPEN表进行排序的，就称A算法。在A算法之上，如果加上一个条件，对于所有的结点x，都有h(x)<=h*(x)，那就称为A*算法。如果取h(n)=0同样是A*算法，这样它就退化成了有序算法。

A*算法是否成功，也就是说是否在效率上胜过蛮力搜索算法，就在于h(n)的选取，它不能大于实际的h*(n)，要保守一点，但越接近h*(n)给我们的启发性就越大，是一个难把握的东西。

A*算法流程：
首先将起始结点S放入OPEN表，CLOSE表置空，算法开始时：
1、如果OPEN表不为空，从表头取一个结点n，如果为空算法失败
2、n是目标解吗？是，找到一个解（继续寻找，或终止算法）；不是到3
3、将n的所有后继结点展开，就是从n可以直接关联的结点（子结点），如果不在CLOSE表中，就将它们放入OPEN表，并把S放入CLOSE表，同时计算每一个后继结点的估价值f(n)，将OPEN表按f(x)排序，最小的放在表头，重复算法到1

最短路径问题，Dijkstra算法与A*
A*是求这样一个和最短路径有关的问题，那单纯的最短路径问题当然可以用A*来算，对于g(n)就是[S,n]，在搜索过程中计算，而h(n)我想不出很好的办法，对于一个抽象的图搜索，很难找到很好的h(n)，因为h(n)和具体的问题有关。只好是h(n)=0，退为有序搜索，举一个小小的例子：

与结点写在一起的数值表示那个结点的价值f(n)，当OPEN表为空时CLOSE表中将求得从V0到其它所有结点的最短路径。考虑到算法性能，外循环中每次从OPEN表取一个元素，共取了n次（共n个结点），每次展开一个结点的后续结点时，需O(n)次，同时再对OPEN表做一次排序，OPEN表大小是O(n)量级的，若用快排就是O(nlogn)，乘以外循环总的复杂度是O(n^2logn)，如果每次不是对OPEN表进行排序，因为总是不断地有新的结点添加进来，所以不用进行排序，而是每次从OPEN表中求一个最小的，那只需要O(n)的复杂度，所以总的复杂度为O(n*n)，这相当于Dijkstra算法。在这个算法基础之上稍加改进就是Dijkstra算法。OPEN表中常出现这样的表项：(Vk,fk1)(Vk,fk2)(Vk,fk3)，而从算法上看，只有fk最小的一个才有用，于是可以将它们合并，整个OPEN表表示当前的从V0到其它各点的最短路径，定长为n，且初始时为V0可直接到达的权值（不能到达为INFINITY），于是就成了Dijkstra算法。

另外一个问题就是八数码难题，一个A*的好例子。
问题描述为有这样一个3*3方阵格子：

格子上有1-8八个数字外加一个空格，每次只能把与空格相临的一个数字移到空格内，移动一次算作一步，给出初始状态和目标状态，求如何以最少的步数完成移动？

设计A*算法时，g(n)就取当前已移动的步数，h(n)取各个数字到目标状态中对应数字的位置的最短距离之和，这样选取的原因是，对于每一次移动，只能使一个数字改变一个相临位置，所以h(n)步是至少需要的，所以满足h(n)<=h*(n)。

A*的成功之处就是在选择好的h(n)，如果实在没办法令它为0也是可以求得问题的解的。