给定n 个点（xi，yi）（1≤i≤n），要求找出其中距离最近的两个点。

例14-7 假设在一片金属上钻n 个大小一样的洞，如果洞太近，金属可能会断。若知道任意两个洞的最小距离，可估计金属断裂的概率。这种最小距离问题实际上也就是距离最近的点对问题。

通过检查所有的n(n- 1 ) / 2对点，并计算每一对点的距离，可以找出距离最近的一对点。这种方法所需要的时间为(n2 )。我们称这种方法为直接方法。图1 4 - 1 3中给出了分而治之求解算法的伪代码。该算法对于小的问题采用直接方法求解，而对于大的问题则首先把它划分为两个较小的问题，其中一个问题（称为A）的大小为「n /2ù，另一个问题（称为B）的大小为「n /2ù。初始时，最近的点对可能属于如下三种情形之一： 1) 两点都在A中（即最近的点对落在A中）；2) 两点都在B中；3) 一点在A，一点在B。假定根据这三种情况来确定最近点对，则最近点对是所有三种情况中距离最小的一对点。在第一种情况下可对A进行递归求解，而在第二种情况下可对B进行递归求解。

if (n较小) {用直接法寻找最近点对

R e t u r n ; }

// n较大

将点集分成大致相等的两个部分A和B

确定A和B中的最近点对

确定一点在A中、另一点在B中的最近点对

从上面得到的三对点中，找出距离最小的一对点

图14-13 寻找最近的点对

为了确定第三种情况下的最近点对，需要采用一种不同的方法。这种方法取决于点集是如何被划分成A、B的。一个合理的划分方法是从xi（中间值）处划一条垂线，线左边的点属于A，线右边的点属于B。位于垂线上的点可在A和B之间分配，以便满足A、B的大小。

例2-8 考察图14-14a 中从a到n的1 4个点。这些点标绘在图14-14b 中。中点xi = 1，垂线x = 1如图14-14b 中的虚线所示。虚线左边的点(如b, c, h, n, i)属于A，右边的点(如a, e, f, j, k, l) 属于B。d, g, m 落在垂线上，可将其中两个加入A, 另一个加入B，以便A、B中包含相同的点数。假设d ,m加入A，g加入B。

设是i 的最近点对和B的最近点对中距离较小的一对点。若第三种情况下的最近点对比小。则每一个点距垂线的距离必小于，这样，就可以淘汰那些距垂线距离≥ 的点。图1 4 - 1 5中的虚线是分割线。阴影部分以分割线为中线，宽为2 。边界线及其以外的点均被淘汰掉，只有阴影中的点被保留下来，以便确定是否存在第三类点对（对应于第三种情况）其距离小于。用RA、RB 分别表示A和B中剩下的点。如果存在点对(p,q)，p?A, q?B且p, q 的距离小于，则p?RA，q?RB。可以通过每次检查RA 中一个点来寻找这样的点对。假设考察RA 中的p 点，p的y 坐标为p.y，那么只需检查RB 中满足p.y- ＜q.y＜p.y+ 的q 点，看是否存在与p 间距小于的点。在图14-16a 中给出了包含这种q 点的RB 的范围。因此，只需将RB 中位于×2 阴影内的点逐个与p 配对，以判断p 是否是距离小于的第三类点。这个×2 区域被称为是p 的比较区（comparing region）。

例2-9 考察例2 - 8中的1 4个点。A中的最近点对为(b,h)，其距离约为0 . 3 1 6。B中最近点对为(f, j)，其距离为0 . 3，因此= 0 . 3。当考察是否存在第三类点时，除d, g, i, l, m 以外的点均被淘汰，因为它们距分割线x= 1的距离≥ 。RA ={d, i, m}，RB= {g, l}，由于d 和m 的比较区中没有点，只需考察i即可。i 的比较区中仅含点l。计算i 和l的距离，发现它小于，因此(i, l) 是最近的点对。

为了确定一个距离更小的第三类点，RA 中的每个点最多只需和RB 中的6个点比较，如图1 4 - 1 6所示。

1. 选择数据结构

为了实现图1 4 - 1 3的分而治之算法，需要确定什么是“小问题”以及如何表示点。由于集合中少于两点时不存在最近点对，因此必须保证分解过程不会产生少于两点的点集。如果将少于四点的点集做为“小问题”，就可以避免产生少于两点的点集。

每个点可有三个参数：标号， x 坐标，y 坐标。假设标号为整数，每个点可用P o i n t l类（见程序1 4 - 8）来表示。为了便于按x 坐标对各个点排序，可重载操作符＜=。归并排序程序如1 4 -3所示。

程序14-8 点类

class Point1 {

friend float dist(const Point1&, const Point1&);

friend void close(Point1 *, Point2 *, Point2 *, int, int, Point1&, Point1&, float&);

friend bool closest(Point1 *, int, Point1&, Point1&,float&);

friend void main();

p u b l i c :

int operator<=(Point1 a) const

{return (x <= a.x);}

p r i v a t e :

int ID; // 点的编号

float x, y; // 点坐标

} ;

class Point2 {

friend float dist(const Point2&, const Point2&);

friend void close(Point1 *, Point2 *, Point2 *, int, int, Point1&, Point1&, float&);

friend bool closest(Point1 *, int, Point1&, Point1&, float&);

friend void main();

p u b l i c :

int operator<=(Point2 a) const

{return (y <= a.y);}

p r i v a t e :

int p; // 数组X中相同点的索引

float x, y; // 点坐标

} ;

所输入的n 个点可以用数组X来表示。假设X中的点已按照x 坐标排序，在分割过程中如果当前考察的点是X [l :r]，那么首先计算m= (l+r) / 2，X[ l:m]中的点属于A，剩下的点属于B。计算出A和B中的最近点对之后，还需要计算RA 和RB，然后确定是否存在更近的点对，其中一点属于RA，另一点属于RB。如果点已按y 坐标排序，那么可以用一种很简单的方式来测试图1 4 - 1 6。按y 坐标排序的点保存在另一个使用类P o i n t 2 (见程序14-8) 的数组中。注意到在P o i n t 2类中，为了便于y 坐标排序，已重载了操作符＜＝。成员p 用于指向X中的对应点。

算法设计与分析
第二章——分治

#include  < algorithm >  
#include  < iostream >  
#include  < cmath >  
using namespace std; 
#define abst(a,b) (a>b?(a-b):(b-a)) 
typedef double TYPE; 
#define Abs(x) ((x)>0 ? (x) : -(x)) 
#define Sgn(x) ((x) < 0  ? (-1) : (1)) 
#define Max(a,b) ((a) > (b) ? (a) : (b)) 
#define Min(a,b) ((a) < (b ) ? (a) : (b)) 
#define Epsilon 1e-8 
#define Infinity 1e10 
const double PI =acos(-1.0); 

struct MPOINT { 
    MPOINT(int xx =0,int  yy =0,int  tt =0):x(xx),y(yy),type(tt){} 
     int x; 
    int y; 
    int type; 
}; 
MPOINT point[1000010]; 
double result; 
bool cmp(MPOINT s,MPOINT t) 
{ 
    return s.x<t.x; 
} 
double len(MPOINT& a,MPOINT& b) 
{ 
    return sqrt(double(1.0*(a.x-b.x)*(a.x-b.x)+1.0*(a.y-b.y)*(a.y-b.y))); 
} 
double mergepoint(int l,int r) 
{ 
    double resultl =0,resultr=0,minlen=1000000000; 
     if(r > l+4) { 
        int mid=(l+r)>>1; 
        double tempdis; 
        resultl=mergepoint(l,mid); 
        resultr=mergepoint(mid,r); 
        minlen=min(resultl,resultr); 
        for(int i=mid;i>=l& &point [i].x>point[mid].x-minlen;i--) { 
            for(int j=mid;j < =r &&point[j].x<point[mid].x+minlen;j++) { 
                if(point[i].type! =point[j].type&&abst(point[j].y,point[mid].y)<minlen)  { 
                    tempdis =len(point[i],point[j]); 
                     if(tempdis<minlen) { 
                        minlen =tempdis; 
                     } 
                } 
            } 
        } 
    } 
    else 
    { 
        double distemp; 
        for(int i =l;i<r;i++)  { 
            for(int j =l+1;j<=r;j++)  { 
                if(j ==i)  { 
                    continue; 
                } 
                if(point[i].type! =point[j].type)  { 
                    distemp =len(point[i],point[j]); 
                     minlen =minlen>distemp?distemp:minlen; 
                 } 
            } 
        } 
    } 
    return minlen; 
} 
int input() 
{ 
    int n; 
    scanf("%d",&n); 
        for(int i =0;i<n;i++)  { 
            scanf("%d%d",&point[i].x,&point[i].y); 
            point[i].type =0; 
         } 
        for(int i =n;i<(n<<1);i++)  { 
            scanf("%d%d",&point[i].x,&point[i].y); 
            point[i].type =1; 
         } 
        return n; 
} 
int main() 
{ 
    int cas,n,x,y; 
    scanf("%d",&cas); 
    while(cas--) { 
        result =0; 
         n =input(); 
         sort(&point[0],&point[n<<1],cmp); 
        double result =mergepoint(0,(n<<1)-1); 
         printf("%.3lf\n",result); 
    } 
    return 1; 
}