为了在计算机中表示负数，有一些编码方式添加了符号位来区别正整数与负整数。

可是，这样一来，整数的加减运算变复杂了。

事实上，整数是一个整体，用符号位来区分正整数与负整数好像没什么必要。

补码的思想可能是这样来的——补码可以看成是一种编码方式，在这种编码方式中，正整数的表示方法跟无符号数相同是很自然的，可是负数怎么办呢？

为了简化这种编码方式的加减运算，可以考虑把整数的减法[x]-[y]转换成加法[x]+[-y],用一个加法器来进行所有的加减运算，这里其实给出了负数的编码方法——如果这种运算方法是可行的，就会有[x]+[-x]=[0]，即可以用正数来定义负数。

假定用4位二进制来编码，由于[0010]+[1110]=[0000]，于是-2的编码是[1110]。类似的，可以给出其余负数的编码。

整理一下思路，以这样方式进行编码(8-bits)。

正整数与无符号数的编码相同(0~2^7-1)

用0与正整数(1~2^7)的编码来定义负整数的编码，使得[x]+[-x]=[0]

由负整数的定义可以看出，负数的编码是唯一的，同时值在2^7~2^8之间。

若x取反加1再加上自己，结果为0。x取反加1是唯一的，又由负整数的定义，负整数的编码一定是存在的，于是x取反加1就是负整数的编码。

证明这种编码的减法可以转换成加法

[x]-[y]=[x]-[y]+[0]=[x]+([0]-[y])=[x]+[-y]

证明对任何整数x与y有[x]+[y]=[x+y]

(i)如果x>0,y>0,[x]+[y]=[x+y]

(ii)如果x<0,y>0,x+y>=0,[x]+[y]=[x]+[(x+y)+(-x)] =[x]+[x+y]+[-x]=[x+y](i)

(iii)如果x<0,y>0,x+y<0,[x]+[y]= [x]+[(x+y)+(-x)]= [x]+[x+y]+[-x]=[x+y](ii)

(iiii)如果x<0,y<0,[x]+[y]= [x]+[(x+y)+(-x)]= [x]+[x+y]+[-x]=[x+y](iii)

参考http://www.ruanyifeng.com/blog/2009/08/twos_complement.html