Posted on 2011-07-23 22:14
Mato_No1 阅读(7546)
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图算法
【背景（神犇不要鄙视）】
本沙茶今年AHOI的时候，遇到裸的最佳匹配的题，竟然把KM算法搞忘了，幸亏是WJMZBMR神犇保佑，临时乱弄一通，想起来了……这MS反映出了本沙茶以前在看某些经典算法的时候看得不深，木有理解透彻……
前几天又遇到一道最佳匹配的题，发现KM算法竟然又忘了……米办法，只有把这个搞死人的算法的具体过程重新看了一遍，终于懂了……
【KM算法及其具体过程】
（1）可行点标：每个点有一个标号，记lx[i]为X方点i的标号，ly[j]为Y方点j的标号。如果对于图中的任意边(i, j, W)都有lx[i]+ly[j]>=W，则这一组点标是可行的。特别地，对于lx[i]+ly[j]=W的边(i, j, W)，称为可行边；
（2）KM算法的核心思想就是通过修改某些点的标号（但要满足点标始终是可行的），不断增加图中的可行边总数，直到图中存在仅由可行边组成的完全匹配为止，此时这个匹配一定是最佳的（因为由可行点标的的定义，图中的任意一个完全匹配，其边权总和均不大于所有点的标号之和，而仅由可行边组成的完全匹配的边权总和等于所有点的标号之和，故这个匹配是最佳的）。一开始，求出每个点的初始标号：lx[i]=max{e.W|e.x=i}（即每个X方点的初始标号为与这个X方点相关联的权值最大的边的权值），ly[j]=0（即每个Y方点的初始标号为0）。这个初始点标显然是可行的，并且，与任意一个X方点关联的边中至少有一条可行边；
（3）然后，从每个X方点开始DFS增广。DFS增广的过程与最大匹配的Hungary算法基本相同，只是要注意两点：一是只找可行边，二是要把搜索过程中遍历到的X方点全部记下来（可以用vst搞一下），以进行后面的修改；
（4）增广的结果有两种：若成功（找到了增广轨），则该点增广完成，进入下一个点的增广。若失败（没有找到增广轨），则需要改变一些点的标号，使得图中可行边的数量增加。方法为：将所有在增广轨中（就是在增广过程中遍历到）的X方点的标号全部减去一个常数d，所有在增广轨中的Y方点的标号全部加上一个常数d，则对于图中的任意一条边(i, j, W)（i为X方点，j为Y方点）：
<1>i和j都在增广轨中：此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])值不变，也就是这条边的可行性不变（原来是可行边则现在仍是，原来不是则现在仍不是）；
<2>i在增广轨中而j不在：此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])的值减少了d，也就是原来这条边不是可行边（否则j就会被遍历到了），而现在可能是；
<3>j在增广轨中而i不在：此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])的值增加了d，也就是原来这条边不是可行边（若这条边是可行边，则在遍历到j时会紧接着执行DFS(i)，此时i就会被遍历到），现在仍不是；
<4>i和j都不在增广轨中：此时边(i, j)的(lx[i]+ly[j])值不变，也就是这条边的可行性不变。
这样，在进行了这一步修改操作后，图中原来的可行边仍可行，而原来不可行的边现在则可能变为可行边。那么d的值应取多少？显然，整个点标不能失去可行性，也就是对于上述的第<2>类边，其lx[i]+ly[j]>=W这一性质不能被改变，故取所有第<2>类边的(lx[i]+ly[j]-W)的最小值作为d值即可。这样一方面可以保证点标的可行性，另一方面，经过这一步后，图中至少会增加一条可行边。
（5）修改后，继续对这个X方点DFS增广，若还失败则继续修改，直到成功为止；
下面分析整个算法的时间复杂度：每次修改后，图中至少会增加一条可行边，故最多增广M次、修改M次就可以找到仅由可行边组成的完全匹配（除非图中不存在完全匹配，这个可以通过预处理得到），故整个算法的时间复杂度为O(M * (N + 一次修改点标的时间))。而一次修改点标的时间取决于计算d值的时间，如果暴力枚举计算，这一步的时间为O(M)，优化：可以对每个Y方点设立一个slk值，表示在DFS增广过程中，所有搜到的与该Y方点关联的边的(lx+ly-W)的最小值（这样的边的X方点必然在增广轨中）。每次DFS增广前，将所有Y方点的slk值设为+∞，若增广失败，则取所有不在增广轨中的Y方点的slk值的最小值为d值。这样一次修改点标的时间降为O(N)，总时间复杂度降为O(NM)。
需要注意的一点是，在增广过程中需要记下每个X、Y方点是否被遍历到，即fx[i]、fy[j]。因此，在每次增广前（不是对每个X方点增广前）就要将所有fx和fy值清空。
代码：
void init_d()
{
re(i, n) E[i].pre = E[i].next = i; m = n;
}
void add_edge(int a, int b, int len)
{
E[m].a = a; E[m].b = b; E[m].len = len; E[m].pre = E[a].pre; E[m].next = a; E[a].pre = m; E[E[m].pre].next = m++;
}
inline int dist(int x, int y, int x0, int y0)
{
return abs(x - x0) + abs(y - y0);
}
bool dfs(int x)
{
int y, x0; fx[x] = _FLAG;
for (int p=E[x].next; p != x; p=E[p].next) {
y = E[p].b;
if (lx[x] + ly[y] > E[p].len) {
if (lx[x] + ly[y] - E[p].len < slk[y]) slk[y] = lx[x] + ly[y] - E[p].len;
} else if (fy[y] != _FLAG) {
fy[y] = _FLAG; x0 = z[y];
if (x0 == -1 || dfs(x0)) {z[y] = x; return 1;}
}
}
return 0;
}
void solve()
{
re(i, n) {
lx[i] = -INF;
for (int p=E[i].next; p != i; p=E[p].next) if (E[p].len > lx[i]) lx[i] = E[p].len;
}
re(i, n0) {ly[i] = 0; z[i] = -1;}
int d;
re(i, n) {
re(j, n0) slk[i] = INF; _FLAG++;
while (!dfs(i)) {
d = INF; re(j, n0) if (fy[j] != _FLAG && slk[j] < d) d = slk[j];
re(j, n) if (fx[j] == _FLAG) lx[j] -= d;
re(j, n0) {slk[j] = INF; if (fy[j] == _FLAG) ly[j] += d;}
_FLAG++;
}
}
res = 0; re(i, n) res += lx[i]; re(i, n0) res += ly[i];
}