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Posted on 2010-08-07 21:51 MiYu 阅读(34708) 评论(1) 编辑 收藏 引用 所属分类: ACM ( 数论 ) 、 ACM_资料 、 ACM ( 组合 )
维基百科资料:
卡塔兰数
卡塔兰数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名。
卡塔兰数的一般项公式为 另类递归式: h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);
前几项为 (OEIS中的数列A000108): 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...
Cn的另一个表达形式为 所以,Cn是一个自然数;这一点在先前的通项公式中并不显而易见。这个表达形式也是André对前一公式证明的基础。(见下文的第二个证明。)
卡塔兰数满足以下递推关系
![C_0 = 1 \quad \mbox{and} \quad C_{n+1}=\sum_{i=0}^{n}C_i\,C_{n-i}\quad\mbox{for }n\ge 0.](http://upload.wikimedia.org/math/6/2/1/6217b3c99a3243afcd5d8dbd58186822.png)
它也满足
![C_0 = 1 \quad \mbox{and} \quad C_{n+1}=\frac{2(2n+1)}{n+2}C_n,](http://upload.wikimedia.org/math/8/a/4/8a49332e4a46b3a2c7accec81160f5e3.png)
这提供了一个更快速的方法来计算卡塔兰数。
卡塔兰数的渐近增长为
![C_n \sim \frac{4^n}{n^{3/2}\sqrt{\pi}}](http://upload.wikimedia.org/math/3/f/8/3f838aaa56c7ec71f80454fc181fea99.png)
它的含义是左式除以右式的商趋向于1当n → ∞。(这可以用n!的斯特灵公式来证明。)
所有的奇卡塔兰数Cn都满足n = 2k − 1。所有其他的卡塔兰数都是偶数。
组合数学中有非常多.的组合结构可以用卡塔兰数来计数。在Richard P. Stanley的Enumerative Combinatorics: Volume 2一书的习题中包括了66个相异的可由卡塔兰数表达的组合结构。以下用Cn=3和Cn=4举若干例:
- Cn表示长度2n的dyck word的个数。Dyck word是一个有n个X和n个Y组成的字串,且所有的部分字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。以下为长度为6的dyck words:
XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY
- 将上例的X换成左括号,Y换成右括号,Cn表示所有包含n组括号的合法运算式的个数:
((())) ()(()) ()()() (())() (()())
![](http://www.cppblog.com/images/cppblog_com/miyu/Catalan_number_binary_tree_example.png)
- Cn表示所有不同构的含n个分枝结点的满二叉树的个数。(一个有根二叉树是满的当且仅当每个结点都有两个子树或没有子树。)
证明:
令1表示进栈,0表示出栈,则可转化为求一个2n位、含n个1、n个0的二进制数,满足从左往右扫描到任意一位时,经过的0数不多于1数。显然含n个1、n个0的2n位二进制数共有 个,下面考虑不满足要求的数目.
考虑一个含n个1、n个0的2n位二进制数,扫描到第2m+1位上时有m+1个0和m个1(容易证明一定存在这样的情况),则后面的0-1排列中必有n-m个1和n-m-1个0。将2m+2及其以后的部分0变成1、1变成0,则对应一个n+1个0和n-1个1的二进制数。反之亦然(相似的思路证明两者一一对应)。
从而 。证毕。
- Cn表示所有在n × n格点中不越过对角线的单调路径的个数。一个单调路径从格点左下角出发,在格点右上角结束,每一步均为向上或向右。计算这种路径的个数等价于计算Dyck word的个数: X代表“向右”,Y代表“向上”。下图为n = 4的情况:
-
- Cn表示通过连结顶点而将n + 2边的凸多边形分成三角形的方法个数。下图中为n = 4的情况:
![](http://www.cppblog.com/images/cppblog_com/miyu/400px-Catalan-Hexagons-example.svg.png)
- Cn表示对{1, ..., n}依序进出栈的置换个数。一个置换w是依序进出栈的当S(w) = (1, ..., n), 其中S(w)递归定义如下:令w = unv,其中n为w的最大元素,u和v为更短的数列;再令S(w) =S(u)S(v)n,其中S为所有含一个元素的数列的单位元。
- Cn表示用n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数。下图为 n = 4的情况:
![](http://www.cppblog.com/images/cppblog_com/miyu/400px-Catalan_stairsteps_4.svg.png)
百度百科资料: 简介
中文:卡特兰数 Catalan数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名。 原理: 令h(0)=1,h(1)=1,catalan数满足递归式: h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + + h(n-1)h(0) (其中n>=2) 该递推关系的解为: h(n)=C(2n,n)/(n + 1) (n=1,2,3, ) 另类递归式: h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1); 前几项为 (OEIS中的数列A000108): 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ![](http://www.cppblog.com/Images/dot.gif) 应用
我总结了一下,最典型的四类应用:(实质上却都一样,无非是递归等式的应用,就看你能不能分解问题写出递归式了) 1.括号化问题。
矩阵链乘: P=a1×a2×a3×……×an,依据乘法结合律,不改变其顺序,只用括号表示成对的乘积,试问有几种括号化的方案?(h(n)种) 2.出栈次序问题。
一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列? 类似: (1)有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票,另外n人只有10元钞票,剧院无其它钞票,问有多少中方法使得只要有10元的人买票,售票处就有5元的钞票找零?(将持5元者到达视作将5元入栈,持10元者到达视作使栈中某5元出栈) (2)在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来,使得所得到的n条线段不相交的方法数。 3.将多边行划分为三角形问题。
将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数? 类似:一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她 从不穿越(但可以碰到)从家到办公室的对角线,那么有多少条可能的道路? 类似:在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数? 4.给顶节点组成二叉树的问题。
给定N个节点,能构成多少种形状不同的二叉树? (一定是二叉树! 先去一个点作为顶点,然后左边依次可以取0至N-1个相对应的,右边是N-1到0个,两两配对相乘,就是h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + + h(n-1)h(0)=h(n)) (能构成h(N)个)
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2014-12-16 18:51 by
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1. 博客搬家了...... http://orz.miyuoo.com Cn表示长度2n的dyck word的个数。Dyck word是一个有n个X和n个Y组成的字串,且所有的部分字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。以下为长度为6的dyck words:
XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY
将上例的X换成左括号,Y换成右括号,Cn表示所有包含n组括号的合法运算式的个数:
((())) ()(()) ()()() (())() (()())
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