模拟退火算法介绍(摘自08集训队 顾研《浅谈随机化思想在几何问题中的应用》)

    一.模拟退火算法的原理

模拟退火算法是一种元启发式（Meta-Heuristics）算法，来源于固体退火原理，将固体加热至充分高的温度，再让其徐徐冷却。加热时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为e-ΔE/kt，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为Boltzmann常数。

    二.模拟退火算法的模型

① 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(算法迭代的起点)， 每次迭代次数L

② for k=1 to L 做③至⑥

③ 产生新解S’

④ 计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数

⑤ 若Δt′<0则接受S’作为新的当前解，否则以概率e-Δt/k接受S’作为新的当前解

⑥ 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序

⑦ T逐渐减少，然后转②

    回到此题，题意为：平面上有一个矩形，在矩形内有一些陷阱。求得矩形内一个点，该点离与它最近的已知陷阱最远（点的个数≤1000）。精度要求：1/10。

这题的精度要求不高，一个很朴素的想法是枚举平面中的一些网格点并进行判断。当然这样的点太多了，我们必须选一些比较有“希望”的点，同时还不能忽略任何平面上的任何一点。

我们使用类比的方法引入模拟退火算法，初始解状态S可以在矩形内随便选取，初始温度T对应于每次调整的距离D，产生新解的方式是在目前解为圆心、半径为D的圆周上任取一点，评价函数取距离最近的陷阱的距离，终止条件为D足够小。

由此可得本问题的模拟退火算法：由初始解S和控制参数初值D开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减D值，算法终止时可以得到一组解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表（Cooling Schedule）控制，包括控制参数的初值D及其衰减因子D’、每个值D时的迭代次数L。

模拟退火算法还有一个特点：具有并行性。因此我们可以将初始解S改成初始解集，对于每个候选解都进行迭代，答案取最终解集的最优解。

由于我们必须保证能覆盖矩形上的每个位置，因此在①中确定p后（我们按网格状放置），②中的delta可取max{矩形边长}/sqrt(n)。设算法的迭代次数为t，则算法的复杂度O（P*L*t*n）。
   

POJ 1379
#include<iostream>
#include<time.h>
#include<cmath>
#define sqr(x) (x)*(x)
#define FOR(i,a,b) for(int i=a;i<b;i++)
#define FF(i,a) for(int i=0;i<a;i++)
using namespace std;
const double eps=1e-3;
const double INF=1e20;
const double pi=acos(-1.0);
struct Houxuan
{
    double x,y,dist;
}pp[30];
struct PT
{
    double x,y;
}hole[1000];
double dis(double x1,double y1,double x2,double y2)
{
    return sqrt(sqr(x1-x2)+sqr(y1-y2));
}
int n,cas;
int X,Y;
int main()
{
    int P=15,L=25;
    scanf("%d",&cas);
    srand((unsigned)time(NULL));
    while(cas--)
    {
        scanf("%d%d%d",&X,&Y,&n);
        double delta=double(max(X,Y))/(sqrt(1.0*n));
        FF(i,n)
            scanf("%lf%lf",&hole[i].x,&hole[i].y);
        FF(i,P)
        {
            pp[i].x=double(rand()%1000+1)/1000.000*X;
            pp[i].y=double(rand()%1000+1)/1000.000*Y;
            pp[i].dist=INF;
            FF(j,n)
                pp[i].dist=min(pp[i].dist,dis(pp[i].x,pp[i].y,hole[j].x,hole[j].y));
        }
        while(delta>eps)
        {
            FF(i,P)
            {
                Houxuan tmp=pp[i];
                FF(j,L)
                {
                    double theta=double(rand()%1000+1)/1000.000*10*pi;
                    Houxuan t;
                    t.x=tmp.x+delta*cos(theta);
                    t.y=tmp.y+delta*sin(theta);
                    if(t.x>X||t.x<0||t.y>Y||t.y<0)
                        continue;
                    t.dist=INF;
                    FF(k,n)
                    {
                        t.dist=min(t.dist,dis(t.x,t.y,hole[k].x,hole[k].y));
                    }
                    if(t.dist>pp[i].dist)
                        pp[i]=t;                    
                }
            }
            delta*=0.8;
        }
        int idx=0;
        FOR(i,1,P)
        {
            if(pp[i].dist>pp[idx].dist)
                idx=i;
        }    
        printf("The safest point is (%.1lf, %.1lf).\n",pp[idx].x,pp[idx].y);    
    }
    return 0;
}