/* a positive integer number is beautiful if and only if it is divisible by each of its nonzero digits. 问一个区间内[l,r]有多少个Beautiful数字 范围9*10^18 数位统计问题,构造状态也挺难的,我想不出,我的思维局限在用递推去初始化状态,而这里的状态定义也比较难 跟pre的具体数字有关
问了NotOnlySuccess的,豁然开朗 Orz 一个数字要被它的所有非零位整除,即被他们的LCM整除,可以存已有数字的Mask,但更好的方法是存它们的LCM{digit[i]} int MOD = LCM{1,2,9} = 5 * 7 * 8 * 9 = 2520 按照定义,数字x为Beautiful : x % LCM{digit[xi]} = 0 即 x % MOD % LCM{digit[xi]} = 0 所以可以只需存x % MOD,范围缩小了 而在逐位统计时,假设到了pre***(pre指前面的一段已知的数字,而*是任意变) ( preSum * 10^pos + next ) % MOD % LCM(preLcm , nextLcm) = ( preSum * 10 ^ pos % MOD + next % MOD ) % LCM(preLcm , nextLcm) == 0 而next,nextLcm是变量,上面的比较式的意义就是 在已知pos , preSum , preLcm情况下有多少种(next,nextLcm)满足式子为0 而这个就是一个重复子问题所在的地方了,需要记录下来,用记忆化搜索 dfs(pos , preSum , preLcm , doing) 加一个标记为doing表示目前是在计算给定数字的上限,还是没有上限,即***类型的 这样就将初始化以及逐位统计写在一个dfs了,好神奇!!! 还有一点,10以内的数字情况为2^3 , 3^2 , 5 , 7 所以最小公倍数组合的情况只有4*3*2*2 = 48 可以存起来,我看NotOnlySuccess的写法是 for(int i = 1 ; i <= MOD ; i ++) { if(MOD % i == 0) index[i] = num++; } 很棒!!
所以复杂度大概为19*2520*48*10(状态数*决策数)
我觉得这题状态的设计不能跟具体数字分开,否则会很难设计吧 所以用记忆化搜索,存起来 用具体数字去计算,重复的子问题跟pre关系比较密切 有一个比较重要的切入点就是LCM,还有%MOD缩小范围,才能存储
还有优化到只需%252的,更快 不过我觉得%2520比较好理解 */ #include<iostream> #include<cstring> #include<map> #include<algorithm> #include<stack> #include<queue> #include<cmath> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<vector> #include<cstdio>
using namespace std;
const int MOD = 2520;
__int64 dp[19][MOD][48]; int index[MOD+10]; int digit[19];
int gcd(int a , int b) { return b == 0 ? a : gcd(b , a % b); }
int lcm(int a, int b) { return a / gcd(a,b) * b; }
void init() { //编号 int num = 0; for(int i = 1 ; i <= MOD ; i ++) { if(MOD % i == 0) index[i] = num ++; } memset(dp,-1,sizeof(dp)); }
__int64 dfs(int pos , int preSum , int preLcm , bool doing) { if(pos == -1)//为一个数字时 return preSum % preLcm == 0;
if(!doing && dp[pos][preSum][index[preLcm]] != -1) return dp[pos][preSum][index[preLcm]];
__int64 ans = 0; int end = doing ? digit[pos] : 9; for(int i = 0 ; i <= end ; i++)//上界 { int nowSum = (preSum * 10 + i ) % MOD; int nowLcm = preLcm; if(i) { nowLcm = lcm(nowLcm , i); } ans += dfs(pos - 1 , nowSum , nowLcm , doing && i == end);//doing && i == end }
if(!doing) { dp[pos][preSum][index[preLcm]] = ans; }
return ans; }
__int64 cal(__int64 x) { int pos = 0; while(x) { digit[pos++] = x % 10; x /= 10; } return dfs(pos - 1 , 0 , 1 , 1); }
int main() { init(); int T; for(scanf("%d",&T) ; T -- ; ) { __int64 left , right ; cin >> left >> right; cout << cal(right) - cal(left - 1) << endl; } return 0; }
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