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例1：一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？
题中3、4、5三个数两两互质。
则〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60。
为了使20被3除余1，用20×2=40；
使15被4除余1，用15×3=45；
使12被5除余1，用12×3=36。
然后，40×1＋45×2＋36×4=274，
因为，274>60，所以，274－60×4=34，就是所求的数。
例2：一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几？
题中3、7、8三个数两两互质。
则〔7，8〕=56；〔3，8〕=24；〔3，7〕=21；〔3，7，8〕=168。
为了使56被3除余1，用56×2=112；
使24被7除余1，用24×5=120。
使21被8除余1，用21×5=105；
然后，112×2＋120×4＋105×5=1229，
因为，1229>168，所以，1229－168×7=53，就是所求的数。
例3：一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。
题中5、8、11三个数两两互质。
则〔8，11〕=88；〔5，11〕=55；〔5，8〕=40；〔5，8，11〕=440。
为了使88被5除余1，用88×2=176；
使55被8除余1，用55×7=385；
使40被11除余1，用40×8=320。
然后，176×4＋385×3＋320×2=2499，
因为，2499>440，所以，2499－440×5=299，就是所求的数。
例4：有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人 ？（幸福123老师问的题目）
题中9、7、5三个数两两互质。
则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。
为了使35被9除余1，用35×8=280；
使45被7除余1，用45×5=225；
使63被5除余1，用63×2=126。
然后，280×5＋225×1＋126×2=1877，
因为，1877>315，所以，1877－315×5=302，就是所求的数。
例5：有一个年级的同学，每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，问这个年级至少有多少人 ？（泽林老师的题目）
题中9、7、5三个数两两互质。
则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。
为了使35被9除余1，用35×8=280；
使45被7除余1，用45×5=225；
使63被5除余1，用63×2=126。
然后，280×6＋225×2＋126×3=2508，
因为，2508>315，所以，2508－315×7=303，就是所求的数。
（例5与例4的除数相同，那么各个余数要乘的“数”也分别相同，所不同的就是最后两步。）
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先写出一个两位数62，接着在62右端写这两个数字的和为8，得到628，再写末两位数字2和8的和10，得到62810，用上述方法得到一个有2006位的整数：628101123……，则这个整数的数字之和是（ ）。
（2006-5）÷10=200....1
17+35*200+1=7018
前面的62810数字和为17
后面开始，以“1123581347”为循环节
共循环10次，每次的和为35
最后余1，就加上1
所以结果是17+35*200+1=7018
例子：PKU 1006
因为只有三个数23 28 33 且三个数两两互为质数，所以“中国剩余定理”可知
对于每一组输入数据p, e ,i, d，所求结果为：n = (R1*p + R2*e + R3*i)%21252-d
其中 R1%p=1, R2%e=1, R3%i=1;
R1 = 5544 = 28*33* 6; //28 33 的公倍数中能被23除余1的最小整数
R2 = 14221 = 23*33*19; //23 33 的公倍数中能被28除余1的最小整数
R3 = 1288 = 23*28* 2; //23 28 的公倍数中能被33除余1的最小整数
为了保证结果大于等于1且小于等于21252，结果修正为：n = (R1*p + R2*e + R3*i - d + 21252)%21252，并且如果n为0，则n = 21252为所求。
问题简单来说就是 a = ai (mod ni) 求未知数a,
以下小结略去证明, 只是对定理作了必要的解释, 要了解相关定理,可查阅数论资料.
中国余数定理:
设
n=n1*n2...nk, 其中因子两两互质.有: a-----(a1,a2,...,ak), 其中ai = a mod ni, 则
a和(a1,a2,...,ak)关系是一一对应的.就是说可以由 a求出(a1,a2,...,ak), 也可以由(a1,a2,...,ak)求出a
推论1:
对于 a=ai (mod ni) 的同余方程,有唯一解
下面说说由(a1, a2, ..., ak)求a的方法:
定义 mi = n1*n2*...nk / ni; ci = mi(mf mod ni); 其中 mi*mf mod ni = 1;
则 a = (a1*c1+a2*c2+...+ak*ck) (mod n) (注:由此等式可求a%n, 当n很大时)
中国剩余定理关键是mf的求法,如果理解了扩展欧几里得 ax+by=d, 就可以想到:
mi*mf mod ni = 1 => mi*mf+ni*y=1;
代码如下:
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
const int MAXN = 100;
int nn, a[MAXN], n[MAXN];
int egcd(int a, int b, int &x, int &y) {
int d;
if (b == 0) {
x = 1; y = 0;
return a;
} else {
d = egcd(b, a%b, y, x);
y -= a/b*x;
return d;
}
}
int lmes() {
int i, tm=1, mf, y, ret=0, m;
for (i=0; i<nn; i++) tm *= n[i];
for (i=0; i<nn; i++) {
m = tm/n[i];
egcd(m, n[i], mf, y);
ret += (a[i]*m*(mf%n[i]))%tm;
}
return (ret+tm)%tm;
}