题目大意:给出一个有N个数字(-1000..1000,N<=10^5)的环状序列,让你求一个和最大的连续子序列。这个连续子序列的长度小于等于K。
分析:因为序列是环状的,所以可以在序列后面复制一段(或者复制前k个数字)。如果用s[i]来表示复制过后的序列的前i个数的和,那么任意一个子序列[i..j]的和就等于s[j]-s[i-1]。对于每一个j,用s[j]减去最小的一个s[i](i>=j-k+1)就可以得到以j为终点长度不大于k的和最大的序列了。将原问题转化为这样一个问题后,就可以用单调队列解决了。
单调队列即保持队列中的元素单调递增(或递减)的这样一个队列,可以从两头删除,只能从队尾插入。单调队列的具体作用在于,由于保持队列中的元素满足单调性,对于上述问题中的每个j,可以用O(1)的时间找到对应的s[i]。(保持队列中的元素单调增的话,队首元素便是所要的元素了)。
维护方法:对于每个j,我们插入s[j-1](为什么不是s[j]? 队列里面维护的是区间开始的下标,j是区间结束的下标),插入时从队尾插入。为了保证队列的单调性,我们从队尾开始删除元素,直到队尾元素比当前需要插入的元素优(本题中是值比待插入元素小,位置比待插入元素靠前,不过后面这一个条件可以不考虑),就将当前元素插入到队尾。之所以可以将之前的队列尾部元素全部删除,是因为它们已经不可能成为最优的元素了,因为当前要插入的元素位置比它们靠前,值比它们小。我们要找的,是满足(i>=j-k+1)的i中最小的s[i],位置越大越可能成为后面的j的最优s[i]。
在插入元素后,从队首开始,将不符合限制条件(i>=j-k+1)的元素全部删除,此时队列一定不为空。(因为刚刚插入了一个一定符合条件的元素)
#include<iostream>
#include<queue>
using namespace std;
#define INF 0x3fffffff
#define maxn 100010
int num[maxn],sum[maxn];
int main()
{
int T;
int N,K,n;
cin>>T;
while(T--)
{
cin>>N>>K;
sum[0]=0;
for(int i=1;i<=N;i++)
{
cin>>num[i];
sum[i]=sum[i-1]+num[i];
}
for(int i=N+1;i<N+K;i++)
{
sum[i]=sum[i-1]+num[i-N];
}
n=N+K-1;
deque<int> q;
q.clear();
int ans=-INF;
int start,end;
//[j-kj] 枚举以j结尾的区间,找[j-k,j]中sum最小的i
for(int j=1;j<=n;j++)
{
while(!q.empty() && sum[j-1]<sum[q.back()])
q.pop_back();
while(!q.empty() && q.front()<(j-K))
q.pop_front();
q.push_back(j-1);
if(sum[j]-sum[q.front()]>ans)
{
ans=sum[j]-sum[q.front()];
start=q.front()+1;
end=j;
}
}
cout<<ans<<" "<<start<<" "<<(end>N?end%N:end)<<endl;
}
}