感觉数学似乎总是不够的。这些日子为了解决research中的一些问题，又在图书馆捧起了数学的教科书。

从 大学到现在，课堂上学的和自学的数学其实不算少了，可是在研究的过程中总是发现需要补充新的数学知识。Learning和Vision都是很多种数学的交 汇场。看着不同的理论体系的交汇，对于一个researcher来说，往往是非常exciting的enjoyable的事情。不过，这也代表着要充分了 解这个领域并且取得有意义的进展是很艰苦的。

记得在两年前的一次blog里面，提到过和learning有关的数学。今天看来，我对于数学在这个领域的作用有了新的思考。

对于Learning的研究，

Linear Algebra (线性代数) 和 Statistics (统计学) 是最重要和不可缺少的。这代表了Machine Learning中最主流的两大类方法的基础。一种是以研究函数和变换为重点的代数方法，比如Dimension reduction，feature extraction，Kernel等，一种是以研究统计模型和样本分布为重点的统计方法，比如Graphical model, Information theoretical models等。它们侧重虽有不同，但是常常是共同使用的，对于代数方法，往往需要统计上的解释，对于统计模型，其具体计算则需要代数的帮助。

以代数和统计为出发点，继续往深处走，我们会发现需要更多的数学。

Calculus (微积分)，只 是数学分析体系的基础。其基础性作用不言而喻。Learning研究的大部分问题是在连续的度量空间进行的，无论代数还是统计，在研究优化问题的时候，对 一个映射的微分或者梯度的分析总是不可避免。而在统计学中，Marginalization和积分更是密不可分——不过，以解析形式把积分导出来的情况则 不多见。

Partial Differential Equation （偏微分方程)，这主要用于描述动态过程，或者仿动态过程。这个学科在Vision中用得比Learning多，主要用于描述连续场的运动或者扩散过程。比如Level set, Optical flow都是这方面的典型例子。

Functional Analysis (泛函分析)， 通俗地，可以理解为微积分从有限维空间到无限维空间的拓展——当然了，它实际上远不止于此。在这个地方，函数以及其所作用的对象之间存在的对偶关系扮演了 非常重要的角色。Learning发展至今，也在向无限维延伸——从研究有限维向量的问题到以无限维的函数为研究对象。Kernel Learning 和 Gaussian Process 是其中典型的例子——其中的核心概念都是Kernel。很多做Learning的人把Kernel简单理解为Kernel trick的运用，这就把kernel的意义严重弱化了。在泛函里面，Kernel (Inner Product) 是建立整个博大的代数体系的根本，从metric, transform到spectrum都根源于此。

Measure Theory (测度理论)，这 是和实分析关系非常密切的学科。但是测度理论并不限于此。从某种意义上说，Real Analysis可以从Lebesgue Measure（勒贝格测度）推演，不过其实还有很多别的测度体系——概率本身就是一种测度。测度理论对于Learning的意义是根本的，现代统计学整 个就是建立在测度理论的基础之上——虽然初级的概率论教科书一般不这样引入。在看一些统计方面的文章的时候，你可能会发现，它们会把统计的公式改用测度来 表达，这样做有两个好处：所有的推导和结论不用分别给连续分布和离散分布各自写一遍了，这两种东西都可以用同一的测度形式表达：连续分布的积分基于 Lebesgue测度，离散分布的求和基于计数测度，而且还能推广到那种既不连续又不离散的分布中去（这种东西不是数学家的游戏，而是已经在实用的东西， 在Dirchlet Process或者Pitman-Yor Process里面会经常看到)。而且，即使是连续积分，如果不是在欧氏空间进行，而是在更一般的拓扑空间（比如微分流形或者变换群），那么传统的黎曼积 分（就是大学一年级在微积分课学的那种）就不work了，你可能需要它们的一些推广，比如Haar Measure或者Lebesgue-Stieltjes积分。

Topology（拓扑学)，这 是学术中很基础的学科。它一般不直接提供方法，但是它的很多概念和定理是其它数学分支的基石。看很多别的数学的时候，你会经常接触这样一些概念：Open set / Closed set，set basis，Hausdauf,  continuous function，metric space,  Cauchy sequence, neighborhood,  compactness, connectivity。很多这些也许在大学一年级就学习过一些，当时是基于极限的概念获得的。如果，看过拓扑学之后，对这些概念的认识会有根本性的拓 展。比如，连续函数，当时是由epison法定义的，就是无论取多小的正数epsilon，都存在xxx，使得xxx。这是需要一种metric去度量距 离的，在general topology里面，对于连续函数的定义连坐标和距离都不需要——如果一个映射使得开集的原像是开集，它就是连续的——至于开集是基于集合论定义的，不 是通常的开区间的意思。这只是最简单的例子。当然，我们研究learning也许不需要深究这些数学概念背后的公理体系，但是，打破原来定义的概念的局限 在很多问题上是必须的——尤其是当你研究的东西它不是在欧氏空间里面的时候——正交矩阵，变换群，流形，概率分布的空间，都属于此。

Differential Manifold (微分流形)， 通俗地说它研究的是平滑的曲面。一个直接的印象是它是不是可以用来fitting一个surface什么的——当然这算是一种应用，但是这是非常初步的。 本质上说，微分流形研究的是平滑的拓扑结构。一个空间构成微分流形的基本要素是局部平滑：从拓扑学来理解，就是它的任意局部都同胚于欧氏空间，从解析的角 度来看，就是相容的局部坐标系统。当然，在全局上，它不要求和欧氏空间同胚。它除了可以用于刻画集合上的平滑曲面外，更重要的意义在于，它可以用于研究很 多重要的集合。一个n-维线性空间的全部k-维子空间(k < n)就构成了一个微分流形——著名的Grassman Manifold。所有的标准正交阵也构成一个流形。一个变换群作用于一个空间形成的轨迹(Orbit) 也是通常会形成流形。在流形上，各种的分析方法，比如映射，微分，积分都被移植过来了。前一两年在Learning里面火了好长时间的Manifold Learning其实只是研究了这个分支的其中一个概念的应用: embedding。其实，它还有很多可以发掘的空间。

Lie Group Theory (李群论)，一 般意义的群论在Learning中被运用的不是很多，群论在Learning中用得较多的是它的一个重要方向Lie group。定义在平滑流行上的群，并且其群运算是平滑的话，那么这就叫李群。因为Learning和编码不同，更多关注的是连续空间，因为Lie group在各种群中对于Learning特别重要。各种子空间，线性变换，非奇异矩阵都基于通常意义的矩阵乘法构成李群。在李群中的映射，变换，度量， 划分等等都对于Learning中代数方法的研究有重要指导意义。

Graph Theory（图论)，图， 由于它在表述各种关系的强大能力以及优雅的理论，高效的算法，越来越受到Learning领域的欢迎。经典图论，在Learning中的一个最重要应用就 是graphical models了，它被成功运用于分析统计网络的结构和规划统计推断的流程。Graphical model所取得的成功，图论可谓功不可没。在Vision里面，maxflow (graphcut)算法在图像分割，Stereo还有各种能量优化中也广受应用。另外一个重要的图论分支就是Algebraic graph theory (代数图论)，主要运用于图的谱分析，著名的应用包括Normalized Cut和Spectral Clustering。近年来在semi-supervised learning中受到特别关注。